ELLIPTIK TENGLAMALARNING MAKSIMAL VA MINIMAL YECHIMLARI

Аннотация

Ushbu maqola parametrik tenglamalarning maksimal va minimal yechimlarini ko’rib chiqqan. Nuqtalar to’plami, funksiya va elliptic tenglamalar ko’rib chiqilgan. Kalit so’zlar: Fazo, nuqtalar to’plami, funksiya, ikkinchi tartibli differensial, operator, elliptic tenglamalar. 𝑆 −𝑚 o’lchamli fazo bo’lsin. 𝑆 fazoning barcha nuqtalarini 𝑥,𝑦,… bilan 𝑚 𝑚 belgilaymiz, bu nuqtalarning koordinatalari (𝑥 ,𝑥 ,…𝑥 ),(𝑦 ,𝑦 ,…𝑦 ),… bo’lsin, 𝑟 = 𝑥̅̅𝑦̅ 1 2 𝑚 1 2 𝑚 - 𝑥 va 𝑦 nuqtalar orasidagi masofa, 𝑑𝑥,𝑑𝑦,…− 𝑆 fazodagi hajm elementi, 𝑑 𝜎 orqali 𝑚 𝑥 yoki, agar noto’g’ri tushinishga olib kelmasa 𝑑𝜎 − maydon elementi (𝑚−1)−𝑥 nuqtadagi o’lchovli sirt. Nihoyat, 𝑚−1 o’lchamli sharsimon sirt maydonni 𝑤 orqali 𝑚 quidagicha yozamiz: 𝑚 2𝜋2 𝑤 = 𝑚 𝑚 Γ( ) 2 𝑆 fazodagi ixtiyoriy 𝐴 nuqtalar to’plamining chegarasi , to’ldiruvchisi esa 𝑚 bilan belgilanadi. To’plam orqali 𝐴 ni to’liq qoplaymiz. 𝐴 to’plam ochiq va bog’langan bo’lsa mintaqa, agar u mukammal va ichki bog’langan bo’lsa yopiq mintaqa [1] deb ataymiz va har bir nuqta uning ichki nuqtalari uchun to’planish nuqtasidir. Γ(𝑥,𝜌)− markazi 𝑥 va radiusi 𝜌 bo’lgan 𝑚 o’lchamli sharni ya’ni 𝑥̅̅𝑦̅ ≤ 𝜌 bo’lgan y nuqtalar to’plamini bildirsin. 𝐴 to’plamda 𝑓(𝑥) funksiya aniqlangan va uzluksiz bo’lsin. 𝐴 dagi 𝜆 ko’rsatkichli Gyolder shartini qanoatlantiradi,agar |𝑓(𝑥)−𝑓(𝑦)| 𝐴 ga tegishli x va y uchun yuqoridan chegaralangan. 𝐶 sohada aniqlangan 𝑚2 +𝑚+1 𝑎 (𝑥),𝑏 (𝑥),𝑐(𝑥) (𝑖,𝑘 = 1,2,…𝑚) funksiyalarni ko’rib chiqamiz; 𝑖𝑘 𝑖 keyin ikkinchi tartibli differensial operatorni 𝐷𝑅 bilan belgilaymiz. 𝑚 𝑚 𝐷𝑅 = ∑ 𝑎 +∑𝑏 +𝑐 (2.1) 𝑖𝑘𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑖𝜕𝑥 𝑖 𝑘 𝑖 𝑖,𝑘=1 𝑖=1 Faraz qilaylik (agar bizga boshqacha shart berilmagan bo’lsa, biz buni har doim bajaramiz 𝑎 = 𝑎 . 𝑖𝑘 𝑘𝑖 U holda ∑𝑎 kvadrat shakl aniqlansa va 𝐶 da barcha 𝑥 uchun bir xil 𝑖𝑘(𝑥)𝜆𝜆 𝑖 𝑘 belgiga ega bo’lsa, 𝐷𝑅 elliptik tipdagi operator deb ataladi. Aniqroq bo’lishi uchun , shakl aniqlangan deb faraz qilaylik. U holda, agar 𝐴(𝑥) uning diskriminanti bo’lsa, 𝑥 ∈ 𝐶 uchun 𝐴(𝑥) > 0 𝑓(𝑥) ham 𝐶 da aniqlangan funksiya bo’lsin. Biz o’z oldimizga differensial o’rganishni qo’yamiz: 𝐷𝑅𝑢 = 𝑓 (2.2) 4 Ushbu funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari doim 𝜌 , 𝜌 kabi 𝑖 𝑖𝑘 belgilaymiz. Ular yordamida (2.2) tenglamani quidagicha yozishimiz mumkin 𝑚 𝑚 ∑ 𝑎 +∑𝑏 𝜌 +𝑐𝑢 = 𝑓 (2.3) 𝑖𝑘 𝜌 𝑖 𝑖 𝑖𝑘 𝑖,𝑘=1 𝑖=1 𝐶 sohada 𝑢(𝑥) funksiyani (2.2) tenglamaning regulyar yechimi deb ataymiz, agar 𝑢 𝐶 ning 𝐶(2) sinfiga tegishli bo’lsa va 𝐶 ning barcha nuqtalarida (2.2) tenglamani qanoatlantirsa. (2.2) tenglamaning regulyar yechimlari uchun ushbu tenglama chegaraviy masalalarni shakllantirish va o’rganishda asosiy rol o’ynaydigan ma’lum maksimal va minimal xususiyatlar mavjud. Agar C mintaqasida → (10 ) 𝑐 ≤ 0, 𝑓 0] 𝑣𝑎 𝑐 < 0,𝑓 ≤ 0,[𝑓 ≥ 0] , shartlar bajarilsa (2.2) tenglamalar regulyar yechimi bajarilmaydi. [ musbat nisbiy maksimal] Misol uchun, nisbiy minimal nuqtani ko`rib chqamiz:unda 𝑃 = 0 bo`lmasligi kerak, 𝑖 ∑𝑝 𝛼 𝛼 ≥ 𝑜 va shuning uchun 𝐷𝑅𝑢−𝐶𝑢 = ∑𝑎 𝑝 ≥ 𝑜 𝑖𝑘 𝑖 𝑘 𝑖𝑘 𝑖𝑘 Haqiqatan ham kvadratik shakl∑𝑎𝛼 𝛼 har doim m chiziqli shakllar kvadratli yig`indisi 𝑖 𝑘 sifatida ifodalanishi mumkinligini hisobga olsak. m 𝑚 𝑚 ∑ a 𝛼 𝛼 = ∑[∑𝑔 𝛼 ] ik 𝑖 𝑘 𝑟𝑠 𝑠 i,k=1 𝑟=1 𝑠=1 Olamiz 𝑚 𝑚 𝐷𝑅𝑢−𝐶𝑢 = ∑ ∑ 𝑝 𝑔 𝑔 ≥ 𝑜 𝑖𝑘 𝑟𝑖 𝑟𝑘 𝑟=1𝑖,𝑘=1 Boshqa tomondan agar bu nuqtada u < 0 bo`lsa, u holda teorema farazlari tufayli 𝐷𝑅𝑢− 𝐶𝑢 = 𝑓−𝑐𝑢 < 0 Teorema yuzaga kelgan qarama-qarshilikdan kelib chiqadi Hopf [1] yanada umumiy bayonotni isbotladi.