ОПРЕДЕЛЕНИЕ И НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Аннотация

В настоящей дается определения и свойств специальных функции, а также решаются задачи Коши, Коши-Гурса и Неймана( 113 N ) для уравнения гиперболического и эллиптического типов второго рода с сингулярным коэффициентом. Ключевые слова: Определение и некоторые свойства специальных функций. (z) 1. Гамма функция. Гамма функцией называется интеграл Эйлера второго рода [4], [28]:  ( z )  x z  1 e  x d x , R e z  0 , (1.1) который сходится для всех z  C при R e z  0 ( C -множество комплексных чисел). (z) Гамма-функция удовлетворяет следующим функциональным соотношениям: а) обобщенные формулы понижения и повышения аргумента  ( z  n )  ( z ) n  ( z ) ,  ( z  n )  ( z ( z n ) ) n (  ( 1 1 ) n  z ( ) z n ) , б) формула дополнения ( z ) ( 1 z ) s i n z при z  1 1 1 z       2 2 , если , то , (1.2) в) формула удвоения (формула Лежандра) ( 2 z ) 2 2 z 1 ( z ) z 1 2  , г) другие соотношения (n1)n! (1) 1 , , ( z ) ( z ) z s i n z . 2. Бета функция. Бета-функция B ( p , q ) определяется с помощью интеграла Эйлера первого рода [4], [28]: B ( p , q )  10 t p  1 ( 1  t ) q  1 d t Re p 0 Req 0 , , . (1.3) Функция B ( p , q ) выражается через функцию  ( z ) по формуле (p)(q) B(p,q)  (pq) . (1.4) 3. Гипергеометрическая функция Гаусса 114 F ( a , b , c , z ) определяется при z  1 как сумма степенного ряда [4], [28]: F ( a , b , c , z )   0 ( a ) ( kc ( ) b k ) k  z k k ! , (1.5) которая называется гипергеометрическим рядом. Его параметры a , b , c и переменная z могут быть комплексными, причем c0,1,2,... (a) , а символ Похгаммера n при целых неотрицательных определяется равенством [4], [28]: ( a ) n  a ( a  1 ) . . . ( a  n  1 ) , n  1 , 2 , . . . , ( a ) 0  1 Очевидно, что ( a ) n  (  1 ) n (  a ) (  a  1 ) . . . ( 1  n  a ) , ( 1 ) n  n ! . Если z  1 и z  1 , R e ( c  a  b )  0 , то ряд (1.5) сходится абсолютно и равномерно, а при остальных значениях z функция Гаусса определяется как аналитическое продолжение этого ряда. Один из способов такого продолжения - использование интегрального представления Эйлера F ( a , b , c , z ) 0 ( R a e ) a ( c ( c ) R e a c ) , 1 0 t a a r 1 g ( 1 ( 1 t ) z c ) a 1 ( 1 z t ) b d t , (1.6) правая часть которого определена при указанных условиях, обеспечивающих сходимость интеграла. Далее, приведем свойства функции Гаусса. F  a , b , c , 1   c a  c a c b b , R e  c  a  b   0 , (1.7 ) 1 F(a,b,b,z)(1 z)a , (1.7 ) 2 F  a , b , c , z    1  z  c  a  b F  c  a , c  b , c ; z  , (1.7 ) 3 F(0,b,c;z) F(a,b,c;0) 1 , (1.7 ) 4 F  a , b , c , z   1 z  a F a , c a r g b ( 1 , c ; z z ) z 1 ,  1 z  b F a c , c ; z z 1 , (1.7 ) 5 d d z  z a F ( a , b , c , z )   a z a  1 F ( a  1 , b , c , z ) (1.7 ) 6 Гипергеометрическая функция Гаусса допускает следующую оценку [24], [27]: 115 F ( a , b , c , z )  c c o o o n n n s s s t t t ( 1  1 z l ) n c ( 1 a  b z )  п п п р р р и и и c c c  a a a b b b 0 0 , , 0 , 0 0 0  z z z 1 1 , , 1 . (1.8)