ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР ДРОБНОГО ПОРЯДКА

Аннотация

В настоящей дается определения и свойств специальных функции, а также решаются задачи Коши, Коши-Гурса и Неймана( 24 N ) для уравнения гиперболического и эллиптического типов второго рода с сингулярным коэффициентом. Ключевые слова: Интегро-дифференциальный оператор дробного порядка. Пусть l  c o n s t  0 , h - целая часть c ( c  0 ) , ab, f ( x ) , f (h)(x)L a,b, xa,b. 1 Определение 1.1. Оператором интегро-дифференцирования дробного порядка c от функции f (x) называется выражение D c k x l f ( x )  f  s g ( ( g n x n ( x c ) ) , ( x ( k k ) c ) ) 1  xk c  h f ( t ) 0 , d d x x l l h  t 1 l D  c  1  c  h l k x d l t  1 , f ( x c ) , c 0  0 , (1.9) где Dc  Dc при x k и Dc  Dc при xk . kxl kxl kxl xlk D c k x l и Dc - операторы, xlk введенные в [32],[34]. Приведём некоторые свойства интегро-дифференциальных операторов дробного порядка [32],[34]: 1 0 . Если f (x)L (a,b), то при любом 1 0   DDf (x) f (x), ax ax x  ( a , b ) . (1.10) 20. Если f (a) fa... f n1a0, n1n, n1 - целое число, то DD f (x) f (x), x(a,b) (1.11) ax ax 30. Пусть f (x)L (a,b). Тогда: если 0, то 1 DDf (x) D() f (x), x(a,b), ax ax ax ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference если 25 0     и функция f ( x ) на ( a , b ) имеет производную D a x f ( x )    , то D a x D a x f ( x ) D a x f ( x )        , x  ( a , b ) . (1.12) 40 . Теорема 1.1.[34] Пусть 0 2 1    и xf(x),bx1 f (x)L (0,b). 1 Тогда на ( 0 , b ) выполняются соотношения D 0 x x 2 1 D 0 x 1 x f ( x ) x 1 D 20 x 1 f ( x )             , (1.13) D(b x)21D1(bx)f (x)(bx)1D21f (x). xb xb xb Теорема 1.2.[34] Пусть 021 и x 1 f ( x ) ,  b x  1 f ( x ) L 1 ( 0 , b )       . Тогда на ( 0 , b ) выполняются соотношения D 10 x x 1 2 D 0 x x 1 f ( x ) x D 10 x 2 f ( x )              , (1.14) D 1x b ( b x ) 1 2 D x b ( b x ) 1 f ( x ) ( b x ) D 1x b 2 f ( x )                 . 5 0 . Операторы A nm ,x  и B nm ,x [29]. Пусть a , b , m - некоторые действительные число, причем a  b    , ma,b, n  0 , 1 , а f  x  -функция, определения в  a , b  . Определение 1.2. Оператором интегро-дифференцирования с функциями Бесселя в ядрах называется выражения A nm ,x f  x  f  x  x m f  t  t x m m n t J 0  x m   x t  d t            , (1.15) B nm ,x f  x  f  x  x m f  t  x t m m 1 n t I 0  x t   t m  d t            , (1.16) где f xCa,bL a,b, а 1 J  z  и I  z  - функция Бесселя порядка  [3],[9]: J  z  k 0  1  1 k  z / k 2  2 k 1  , (1.17)  z / 22k I z , (1.17) k0 причем J  i z  i I  z    . Операторы An,, Bn, и их свойства изучены в книгах[29], [31]: mx mx An,0  E, Bn,0  E, n0, 1 (1.19) mx mx где E - единичный оператор. ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference Теорема 1.3.[31] Если 26 f  x   C  a , b  , то для любых m   a , b  и x   a , b  справедливы следующие равенства: A nm ,x  B nm ,x f  x   f  x       , (1.20) Bn,  An, f x   f x, (1.21) mx mx т.е. в классе непрерывных на a,b функций A nm ,x  и Bn, n 0, 1, mx является взаимно обратными оператором. Замечание 1.1. Утверждение теоремы 1.3 верна и в том случае, когда f x имеет особенность порядка меньше единицы при x  a и x  b . 5 0 Формула Гаусса-Остраградского [41]: i n 1 P i x x i d S i n 1 P i  x  c o s  , x i  d S    (1.22) где P i  x   P i  x 1 , x 2 , . . . , x n  , S - границы области  , причем поверхность S - кусочно-гладкая, а i c o s  , x i     - направляющие косинусы внешней нормали  1 , . . . , n      к поверхность. Формула (1.22) при i  2 принимает вид x x , y   Q  x y , y   d x d y   P  x , y  d y  Q  x , y  d x (1.23) и называется формула Грина. Список использованной литературы: 1. Gellerstedt S. Sur un probleme aux limitespour equation // Arkiv for matematik, astronomiochfysik. 1935. 25А. № 10. Р. 1-12. 2. Urinov A.K., Okboev A.B. Nonlocal Boundary-Value Problem for a Parabolic-Hyperbolic Equation of the Second Kind. // Lobachevskii Journal of Mathematics. Vol.41. no. 9. 2020. Pp. 1886–1897 . 3. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965. Т.2. 296 с. 4. Бейтмен Г. Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1965. Т.1. 296 с. 5. Бицадзе А.В. К теории одного класса уравнений смешанного типа. // Некоторые проблемы математики и механики: Сб. науч. тр. Ленинград, 1970. С. 112-119. 6. Бицадзе А.В. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка. М.: «Наука». 1966. 204 с. ACADEMIC RESEARCH IN MODERN SCIENCE International scientific-online conference 7. Бицадзе А.В. Некоторые классы уравнений в частных производных. Москва: Наука, 1981. 448 с. 8. Бицадзе А.В. Уравнения смешанного типа. М.: Изд-во АН СССР. 1959. 165 с. 9. Sindarova, Shoxista Maxammatovna (2021). OʻYINLI TEХNOLOGIYALARDAN FOYDALANISH