НЕСКОЛЬКО МЕТОДОВ ВЫВОДА УРАВНЕНИЯ ОРБИТЫ

Аннотация

Orbital equations are a significant aspect of mathematical physics and are widely used in celestial mechanics and the study of artificial satellite motion. This article explores the origin of orbital equations and various methods for deriving them. The primary focus is on the application of Newton's law of universal gravitation and Kepler's laws, as well as the modeling of orbital motion using modern mathematical and numerical methods. Additionally, the advantages and disadvantages of classical and contemporary approaches are discussed. This research aims to enhance the understanding of orbital motions and broaden their applications across various fields. Keywords: cosmic velocities, first cosmic velocity, second cosmic velocity, third cosmic velocity, trajectory, law of gravitation, Kepler's laws. Language: Uzbek Citation: Khudoyberdiyeva , M., Doniyorov , N., & Amatboyev , T. (2025). SOME METHODS OF DEriving the ORBITAL EQUATION. Universal International Scientific Journal, 2(1), 23–29. Retrieved from https://universaljurnal.uz/index.php/jurnal/article/view/1395 Doi: https://doi.org/10.5281/zenodo.14614632 Google scholar: https://scholar.google.co.in/scholar?q=https://inlibrary.uz/index.php/universaljurnal/article/view/60317 KIRISH tezligi), ikkinchi kosmik tezlik (qochish ORBITA TENGLAMASINI tezligi) va uchinchi kosmik tezlik (quyosh KELTIRIB CHIQARISH: 1-USUL tizimidan chiqish tezligi). Bu tezliklarni to‘g‘ri aniqlash va hisoblash kosmik Kosmik tezliklar tushunchasi biror missiyalarning muvaffaqiyatli amalga jismning yer tortish kuchidan chiqib ketishi oshirilishi uchun juda muhimdir. yoki orbitada harakatlanishi uchun zarur bo‘lgan minimal tezliklarni tavsiflaydi. Toʻla energiya oʻzgarmaydi va u Ushbu tezliklar uchta turga bo‘linadi: kinetik va potensial energiyalar birinchi kosmik tezlik (sun'iy yo‘ldosh yigʻindisiga teng: 24 Universaljurnal.uz Universal International Scientific Journal 2025, 2(1) 𝜇𝑣2 𝐺𝑚 𝑚 𝑑𝜃 𝐿 𝐸 = − 1 2 = (6) 2 𝑟 𝑑𝑡 𝜇𝑟2 (1) (3) tenglamada ifodalangan toʻla mexanik 𝜇𝑣2 energiya quyidagicha yoziladi Kinetik energiya ifodasi massa μ va 2 ikki jismning nisbiy tezligi v orqali 1 𝑑𝑟 2 1 𝐿 𝐺𝑚 𝑚 𝐸 = 𝜇( ) + − 1 2 2 𝑑𝑡 2𝜇𝑟2 𝑟 yoziladi. Qutb koordinatalar sistemasini (7) shunday tanlaymizki: (7) tenglama ajratiladigan differensial 𝑣⃗ = 𝑣 𝑟̂ + 𝑣 𝜃̂ 𝑟 𝜃 tenglama boʻlib, r oʻzgaruvchili t vaqt 𝑣 = |𝑣⃗| = | 𝑑𝑟⃗ | f u n k s i y a si sifatida ishtirok etadi va birinchi 𝑑𝑡 hosila dr/dt uchun yechilishi mumkin. (2) 1 bu yerda v r = dr / dt va v θ = r (dθ / dt). 𝑑𝑟 = √ 2 × (𝐸 − 1 𝐿2 + 𝐺𝑚 1 𝑚 2) 2 𝑑𝑡 𝜇 2𝜇𝑟2 𝑟 Bundan (1) tenglama quyidagi koʻrinishga (8) keladi: (8) tenglama qonuniy jihatdan r(t) uchun 2 2 1 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝐺𝑚 𝑚 𝐸 = 𝜇[( ) + (𝑟 ) ] − 1 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑟 bevosita integrallanishi mumkin. Keyin r(t) (3) funksiyani qonuniy ravishda (5) tenglamaga almashtirish mumkin va keyin O nuqtaga nisbatan impuls momenti θ(t) ni topish uchun integrallash 𝐿⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑟⃗⃗⃗⃗ × 𝜇𝑣⃗ = 𝑟𝑟̂ × 𝜇(𝑣 𝑟̂ + 𝑣 𝜃̂) = 𝑂 𝑂 𝑟 𝜃 mumkin..Yakka jismning vaqt 𝜇𝑟𝑣 𝑘 ̂ = 𝜇𝑟2 𝑑𝜃 𝑘 ̂ = 𝐿𝑘 ̂ (4) funksiyasidagi holatini yechish oʻrniga, 𝜃 𝑑𝑡 r(θ) topib, orbitaning geometrik tavsifini Uning miqdori topamiz. Avval (5) tenglamani (7) 𝑑𝜃 𝐿 = 𝜇𝑟𝑣 = 𝜇𝑟2 (5) tenglamaga ajratamiz. 𝜃 𝑑𝑡 𝑑𝜃 1 Biz (5) tenglamadagi ifodadan foydalangan 𝑑𝜃 = 𝑑𝑡 = 𝐿 × 𝑟2 𝑑𝑟 𝑑𝑟 √2𝜇 1 holda (3) tenglamadan θ ga bogʻliqlikni 𝑑𝑡 (𝐸− 𝐿2 + 𝐺𝑚1𝑚2) 2 2𝜇𝑟2 𝑟 aniq tarzda yoʻq qilamiz. (9) 25 Universaljurnal.uz Universal International Scientific Journal 2025, 2(1) Oʻzgaruvchilar r va θ ajraladi tomon ham oʻlchamsiz boʻlishi kerak. Bu 1 1 esa, kvadrat ildiz ichidagi 𝜇𝐺𝑚 𝑚 𝐿 1 2 𝑑𝜃 = 𝐿 𝑟2 𝑑𝑟 2 1 √2𝜇 (𝐸− 𝐿2 + 𝐺𝑚1𝑚2) 2 koʻpaytuvchisi u bilan bir xil oʻlchamga 2𝜇𝑟2 𝑟 ega boʻlishini, yaʼni 1/uzunlik boʻlishini (10) anglatadi. Shunday qilib 𝑟2 = 𝐿2 . Bu 0 Keyinchalik aniq natijaga erishish uchun 𝜇𝐺𝑚 𝑚 1 2 esa albatta, (10) tenglamasida aniqlangan matematikada qulay almashtirishlarni fokusga nisbatan yon chiziq uzunligi tanlashga imkon beruvchi yaxshi boʻladi. Shundan soʻng differensial ko’rinishni o’z ichiga oladi. Birinchidan, r tenglama quyidagicha koʻrinishga ega ning o’zaro ta’sirining ko’plab omillariga boʻladi e’tibor bering. Shunday qilib, biz u=1/r almashtirishni sinab koʻramiz. du=-1/r²dr , 𝑑𝑢 𝑑𝜃 = − (13) 1 natija bilan ( 2𝜇𝐸 −𝑢2+ 2𝑢 ) 2 𝐿2 𝑟0 𝐿 𝑑𝑢 𝑑𝜃 = − (11) Endi biz ekssentrisitet shartlarini ifodalash 1 √2𝜇 (𝐸− 2 𝐿 𝜇 2 𝑢2+𝐺𝑚 1 𝑚 2 𝑢) 2 uchun maxrajni qayta yozamiz. Integrallarni baholash tajribasi shuni 𝑑𝑢 𝑑𝜃 = − 1 ko’rsatadiki, kvadrat ildiz ichidagi u² 2𝜇𝐸 1 2𝑢 1 2 ( + − 𝑢2 + − ) 𝐿2 𝑟2 𝑟 𝑟2 ko’paytiruvchi omilning mutlaq qiymatini 0 0 0 birlikka tenglashtiramiz. Ya’ni, surat va 𝑑𝑢 = − 1 √2𝜇 maxrajni ga ko’paytirish, 2𝜇𝐸 1 1 2 2 𝐿 ( + − (𝑢 − ) ) 𝐿2 𝑟2 𝑟 0 0 𝑑𝑢 𝑑𝜃 = − (12) 1 ( 2𝜇𝐸 −𝑢2+2( 𝜇𝐺𝑚1𝑚2)𝑢) 2 = − 𝑟 0 𝑑𝑢 (14) 𝐿2 𝐿2 1 ( 2𝜇𝐸𝑟0+1−(𝑟 𝑢−1)2) 2 𝐿2 0 2𝜇𝐸𝑟2 Shuni qayd etamizki, 0 + 1 kabi Keyingi qadamlar uchun tekshirish 𝐿2 terminlar oʻlchamsiz boʻlib, aslida sifatida, (12) tenglamasidagi chap ekssentrisitetning kvadrati e² ga teng (bu tomondagi dθ kattaligi oʻlchamsiz (12) tenglamasida an