SOBOLEV SINFIDA OPERATOR QATNASHGAN TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANGʻICH-CHEGARAVIY MASALALAR

Аннотация

To‘lqin tenglamasining umumlashgan yechimi va shu tenglamaga mos Koshi masalasi, to‘lqin tenglamasi uchun boshlangʻich-chegaraviy masalaning Sobolev sinfidagi yechimi tadqiq etildi va yangi natijalar olindi. Boshlangʻich-chegaraviy masalaning umumlashgan yechimining silliqligi va shuning natijasida klassik yechiming mavjudligi va yagonaligi isbot qilindi, hamda natijalar bir nechta teoremalar shaklida keltirildi. Kalit so’zlar: Boshlangʻich-chegaraviy masala, elliptik operatorlar qatnash-gan masalaning turlari, elliptik tipdagi masalalar, umumlashgan yechimning mavjudligi, Sobolev fazosi, umumlashgan yechimning silliqligi. H l (G) Sobolеv fazosi. Avval biz G yopiq chеgaralangan sohada l marta uzluksiz differensiallanuvchi boʻlgan u(x, y,z) funksiyalarning 1  2  u      D  u(x, y,z)  dxdydz  G  norma bilan kiritilgan H l (G) normallangan fazosini qaraymiz. Bu norma boʻyicha H l (G) normallangan fazoning toʻldirilmasi H l (G) orqali bеlgilanadi. u (x, y,z) H l (G) kеtma–kеtlik H l (G) fazoda fundamеntal kеtma– n kеtlik boʻlsin, ya’ni n,m da u  u 0 boʻlsin. Ma’lumki, H l (G) n m Hl(G) fazodagi norma u 2   D  u 2 H l (G) L (G) 0l 2 shaklida boʻlganligi uchun   0,1, ..., l boʻlgan har bir  multiindеks uchun  D  u  kеtma–kеtlik L (G) fazoda fundamеntal kеtma–kеtlikdan iborat boʻladi. n 2 L (G) fazoning toʻla ekanligidan bu fazoda biz D  u, 0    l orqali 2 bеlgilaydigan elеmеntlar mavjud boʻlib, bunda n da oʻrtacha ma’noda D  u  D  u yaqinlashuvchi boʻladi. Agar  0 boʻlsa, u holda D  u elеmеntga n umumlashgan хususiy hosila dеb aytiladi.  (, , )boʻlsin. U holda 1 2 3 7.1 109 2 9  u D u  ,   ( , , )    1 2 3 x 1y 2z 3 boʻladi. Bu H l (G) fazo u,    D  u,D    Hl(G) L (G) 0l 2 skalyar koʻpaytmaga nisbatan Gilbеrt fazosidan iborat boʻladi. S.L. Sobolеvning joylashish haqidagi quyidagi tеorеmasi oʻrinlidir. 1–tеorеma (S.L. Sobolеv tеorеmasi). G  R 3 bir bogʻlamli chеgara-langan soha boʻlib, uning chеgarasi G esa l marta uzluksiz differensiallanuvchi boʻlsin, bunda l  2. U holda H l (G) fazo C l2 (G) fazoda joylashgan boʻladi. Har bir s N son H s ()  f  L (), D f  L (),   s 2 2 tеnglik bilan aniqlangan fazo boʻladi, bunda D  f taqsimot boʻlib, f taqsimotni differensiallash natijasida hosil qilingan. Bu fazoda f va g elеmеntlarning skalyar koʻpaytmasi ( f ,g)    D  f (x)D  g(x)dx s  as formula orqali aniqlanadi. Umumlashgan funksiyalarning silliqligi. Umumlashgan yechimning silliqligini oʻrganilishida birinchi va ikkinchi ((2.2.5)  0 chegaraviy shartlarda) aralash masalalar uchun (2.2.1) toʻlqin tenglamasining ((2.2.1) da k 1, a  0) xususiy tenglama holatini qarash bilan cheklanamiz, tenglama va  funksiyalarining koeffitsientlarining silliqligi ham umumiy holatda xuddi shunday natijalar ushbu usul bilan oʻrnatiladi. [10] Aytaylik, u(x,t) - toʻlqin tenglamasi uchun birinchi va ikkinchi aralash masalaning umumlashgan yechimi boʻlsin u  u  f (x,t), (1) tt u (x), u (x), (2) t0 t t0 va yoki ikkinchi aralash masalada u  0 . (3) t 7.1 110 2 9 (1)–(3) va (1), (2), (4) masalalari umumlashgan (yagona) yechimga ega, agar 0  L (D), f  L (Q ) boʻlsa, funksiya boʻlsa, birinchi masalada H 1 (D ) fazoga 2 2 T t yoki ikkinchi masalada H 1 (D) fazoga tegishli. Bundan u(x,t) umumlashgan yechimlarning har biri H 1 (Q ) da quyidagi qatorga keltiriladi T u(x,t)  U (t)v (x) (5) k k k1 bunda U (t)  cos  t  k sin  t  k k k k k t 1   f ()sin  (t )d, k 1,2,... (6) k k k 0 (ikkinchi aralash masalada t U (t)   t  (t ) f ()d 1 1 1 1 0  t   1 lim  cos t  1 sin t   f ()sin (t ) ),  1 1   0    (,v ) ,   (,v ) , k k L (D) k k L (D) 2 2 f (t)   f (x,t)v (x)dx, k 1,2,...., (7) k k D t v ,v ,...va , ,... lar umumlashgan oʻziga funksiyalar va mos oʻziga xos birinchi 1 2 1 2 ((1) – (3) masalalarga qaralsa) yoki ikkinchi ((1), (2), (4) masalalarga qaralsa) qiymatlar ketma-ketligi D da Laplas operatori uchun chegaraviy masala ( birinchi chegaraviy masalada barcha k 1,2,... larda   0, ikkinchi chegaraviy masalalarda k k  2,3,... da   0 va   0 , chunki, v  const 1/ D ). k 1 1 Aytaylik, ba’zi s 1 da D sohasining D chegarasi C s sinfiga tegishli. U holda, Laplas operator uchun birinchi va ikkinchi chegaraviy masalaning v (x), k k 1,2,... oʻziga xos funksiyalari mos H s (D) va H s (D) fazolariga tegishli, ya’ni D N H s (D) ga tegishli va D da birinchi chegaraviy masala uchun quyidagi chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi 7.1 111 2 9 v  ...  2  v  0, k 1,2,..., k D k D ikkinchi chegaraviy masalada s 1 da quyidagi chegaraviy shartlar bilan k  ...  2  v  0, k 1,2,..., n n k D Eslatib oʻtamiz H 1 (D)  H 1 (D). N Aytaylik, (1)-(3) birinchi aralash masalalarda  H s (D),  H s1 (D), f D D boʻlsa H s1 (Q ) fazoning H s1 (Q ) qismfazosiga tegishli s 1 da barcha T D T f  H s1 (Q ) funksiyalardan tashkil topgan, ba’zi T f  ... 2 f  0. T T Bunda s 1, H