FAZODA ANALITIK GEOMETRIYANING SODDA MASALALARI

Аннотация

Fazodagi analitik geometriya sirt va chiziqlarni ularning tenglamalari orqali algebraik usullarda o‘rganadi. Bunda asosan ikkita masala qaraladi: 1) berilgan tenglama fazoda qanday obyektni ifodalashini aniqlash; 2) berilgan geometrik obyekt tenglamasini topish. Fazodagi eng sodda sirt bo‘lmish tekislik I tartibli tenglama bilan ifodalanadi va aksincha, har qanday I tartibli tenglama fazoda biror sirtni aniqlaydi. Tekisliklarning xususiyatlarini ularning umumiy, kesmalardagi va normal tenglamalari yordamida o‘rganish mumkin. Kerak bo‘lganda bu tenglamalarning biridan ikkinchisiga o‘tib bo‘ladi. Kalit so’zlar. Fazodagi nuqta koordinatalari * Fazodagi geometrik obyekt tenglamasi* Fazodagi analitik geometriya predmeti * Fazodagi analitik geometriyaning asosiy masalalari * Tekislikning umumiy tenglamasi * Tekislikning normal vektori. 1.1. Fazoda analitik geometriya predmeti va asosiy masalalari. Fazoda Dеkart koordinatalar sistemasi kiritilgan bo‘lsin. Bu holda undagi har bir M nuqta uning koordinatalari dеb ataladigan (x, y, z) sonlar uchligi bilan to‘liq aniqlanishi va M(x, y, z) kabi yozilishi oldin (III bob, §2) aytib o‘tilgan edi. Fazodagi sirt va chiziqlarni M(x, y, z) nuqtalar to‘plami kabi qarash mumkin. Fazoda biror S sirt va F(x, y, z)=0 (*) tenglama berilgan bo‘lsin. 1-TA‘RIF: Agar (*) tenglamani faqat S sirtga tegishli M(x, y, z) nuqtalarning koordinatalari qanoatlantirsa, u bu sirtning tеnglamasi dеb ataladi. Agarda М (х ,у ,z ) nuqta uchun F(x ,y ,z )=0 shart 0 0 0 0 0 0 0 406 https://universalpublishings.com МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Researchbib Impact factor: 11.79/2023 SJIF 2024 = 5.444 Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь bajarilsa (tenglama qanoatlantirilsa), М nuqta shu tenglama bilan 0 aniqlanadigan S sirtga tegishli, aks holda esa tegishli bo‘lmaydi. Shunday qilib sirt o‘zining tenglamasi bilan to‘liq aniqlanadi. Ammo har qanday tenglama ham biror sirtni ifodalashi shart emas. Masalan, x2+ y4+z6=0 tenglamani faqat bitta O(0,0,0) nuqta koordinatalari qanoatlantiradi va shu sababli bu tenglama sirtni ifodalamaydi. Shuningdek, x2+y2+z2+1=0 tenglamani fazodagi birorta ham nuqtaning koordinatalari qanoatlantirmaydi va u bo‘sh to‘plamni ifodalaydi. Fazodagi chiziqlarni tenglamalari F (x, y, z)=0 va F (x, y, 1 2 z)=0 bo‘lgan S va S sirtlarning kesishish chizig‘i singari qarash 1 2 mumkin. Bu holda chiziqdagi barcha M(x, y, z) nuqtalarning koordinatalari F (x,y,z) 0  1 (**) F (x,y,z) 0 2 tenglamalar sistemasini qanoatlantiradi. 2-TA‘RIF: Agar (**) tenglamalar sistemasini faqat fazodagi L chiziqning M(x, y, z) nuqtalarning koordinatalari qanoatlantirsa, u bu chiziqning tеnglamasi dеb ataladi. 3-TA‘RIF: Fazodagi sirt va chiziqlarni ularning tеnglamalari orqali o‘rganuvchi matеmatik fan analitik gеomеtriya dеb ataladi. Fazodagi analitik gеomеtriyada asosan ikkita masala qaraladi: 1. Bеrilgan sirtn yoki chiziqning tеnglamasini topish va uni analitik o‘rganish. 2. Berilgan tеnglamaga mos keluvchi sirtn yoki chiziqni aniqlash. Masala: Markazi М(а,b,c) nuqtada joylashgan R radiusli sfera tenglamasini toping. Yechish: N(x,y,z) shu sferaga tegishli ixtiyoriy bir nuqta bo‘lsin. Sfera |MN|=R shartni qanoatlantiruvchi nuqtalar 407 https://universalpublishings.com МЕДИЦИНА, ПЕДАГОГИКА И ТЕХНОЛОГИЯ: ТЕОРИЯ И ПРАКТИКА Researchbib Impact factor: 11.79/2023 SJIF 2024 = 5.444 Том 2, Выпуск 9, 30 Сентябрь to‘plamidan (gеomеtrik o‘rnidan) iboratdir. Unda ikki nuqta orasidagi masofa (III bob,§2, (7)) formulasiga ko‘rа sferaning ushbu tenglamasini hosil etamiz: MN  R (x a)2 (y b)2 (z c)2  R (x a)2 (y b)2 (z c)2  R2. Masalan, markazi M(2,3,–1) va radiusi R=5 bo‘lgan sfera tenglamasi (х–2)2 + (у–3)2 +(z+1)2= 25 tenglamaga ega bo‘ladi. Bu yerdan N(5,7,–1) nuqta shu sferaga tegishli ekanligi kelib chiqadi, chunki (5–2)2 + (7–3)2 +(1–1)2= 25. K(2,6,3) nuqta bu sferada yotmaydi, chunki uning koordinatalari sferaning tenglamasini qanoatlantirmaydi: (2–2)2 + (6–3)2 +(3–1)2= 1325. Tenglamalari х2 + у2 +(z+4)2= 20 va х2 + у2 +z2=4 bo‘lgan sferalarning kesishish chizig‘i L x2  y2  (z  4)2  20 x2  y2  z2  4 tenglamalar sistemasi bilan aniqlanadi. Bu sistemadagi tenglamalarni ayirib, z=0 ekanligini topamiz. Bu yerdan L chiziq XOY koordinata tekisligida joylashgan va tenglamasi х2 + у2 =4 bo‘lgan aylanadan iborat ekanligini ko‘ramiz. 1.2. Tekislik va uning umumiy tenglamasi. Tekislik geometriyaning boshlang‘ich tushunchalariga kiradi va shu sababli ta’rifsiz qabul etiladi. TЕORЕMA: 1) Fazodagi har qanday tekislikning tenglamasi uch o‘zgaruvchili chiziqli tenglamadan iborat, ya’ni Ax+By+Cz+D=0 (1) ko‘rinishda bo‘ladi. Bunda A2+ B2 +C2≠0 shart bajarilishi kerak. 2) Har qanday (1) chiziqli tenglama fazoda biror tekislikni aniqlaydi. Isbot: 1) Faraz qilaylik fazoda qandaydir P tekislik berilgan bo‘lsin. Bu tekislikka tegishli biror M (x ,y ,z ) nuqta va P tekislikka perpendikular joylashgan 0 0 0 0 biror n=(A,B,C) vektor ma’lum bo‘lsin. Bеrilgan P tеkislikda yotuvchi ixtiyoriy М(x,y,z) nuqt