OʻZ-OʻZIGA QOʻSHMA BOʻLMAGAN OPERATORLAR UCHUN SPEKTRAL MASALALARNI SONLI YECHISH

Аннотация

В инженерных приложениях по определению собственных частот при колебаниях и критических сил в задачах устойчивости важное место занимает численная реализация спектральных задач. В данной работе предлагается численный подход разрешения дифференциальной проблемы в спектральных задачах для несамосопряженных операторов. В качестве примера рассмотрена задача об определении критических сжимающих сил и крутящих моментов в стержнях. Ключевые слова: численная реализация; спектральных задач; численный подход; разрешения дифференциальной проблемы; несамосопряженные операторы; критические сжимающие силы; крутящие моменты в стержнях. Annotation. Numerical realization of spectral problems occupies an important place in engineering applications for determining natural frequencies during oscillations and critical forces in stability problems. In this paper, we propose a numerical approach to solving the differential problem in spectral problems for non-self-adjoint operators. As an example, the problem of determining the critical compressive forces and torques in the rods is considered. Keywords: numerical implementation; spectral problems; numerical approach; solutions to the differential problem; non-self-adjoint operators; critical compressive forces; torques in rods. Ko‘plab muhandislik masalalari spektral tenglamalar tizimini ko‘rib chiqishga olib keladi, bu tizim faqat undagi ayrim parametrning qiymati ma'lum bo‘lganda yagona yechimga ega bo‘ladi. Ushbu parametr tizimning xususiy yoki xarakteristik qiymati deb ataladi. Spektral masalalarni koordinata funksiyalari berilgan holda yechish, xarakteristik tenglamalar yordamida xususiy sonlarni aniqlashga qaratilgan algebraik masalaga olib keladi. Ushbu algebraik masala Uilkinsonning [1] fundamental ishida batafsil o‘rganilgan. Kelib chiqadigan qiyinchiliklarni yengib o‘tish maqsadida, xususiy sonlarni aniqlashga oid algebraik masala o‘rniga spektral masalalarda unga o‘xshash differensial masalani yechish taklif qilinadi. Kollattsning [2] fundamental ishida qo‘shma operatorlar uchun differensial masalalarni yechish yondashuvlari, qo‘llanma mexanikasining dinamik masalalaridagi 198 «UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI www.in-academy.uz tenglamalarni yechishda ko‘rib chiqilgan. Lekin bu yondashuv o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan operatorlarga tatbiq etilmaydi [3]. O‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan operatorlar nazariyasi konservativ bo‘lmagan tizimlarda yuzaga keladigan jarayonlarni matematik o‘rganish uchun zarur bo‘lib, zamonaviy fizika va mexanikada muhim rol o‘ynaydi. Bu nazariya so‘nggi paytlarda matematiklar, fiziklar va ba'zan muhandislar tomonidan katta qiziqish uyg‘otmoqda [4]. O‘z-o‘ziga qo‘shma operatorlar nazariyasidan farqli o‘laroq, 1950-yilgacha o‘z-o‘ziga qo‘shma bo‘lmagan operatorlar nazariyasida hech qanday spektral taqsimotlar yoki ildiz vektorlarining to‘liqligi haqidagi teoremalar keltirilmagan edi. O‘sha yili M.V. Keldishning [5] ishi paydo bo‘ldi, unda u keng sinfdagi polinomial operatorlar to‘plami uchun ildiz vektorlarining to‘liqligi va xususiy sonlarning asimptotik xususiyatlari haqidagi teoremalarni aniqladi. Ishlarda [6-9] spektral masalalarda differensial muammolarni sonli yechishga qaratilgan yondashuvlar taklif qilingan. ECHISH USULI O'lchamsizlashtirilgan bir o'lchovli spektral masala differensial tenglamalar tizimini vektor-matrisa shaklida quyidagicha ifodalash mumkin [6]: 199 [ C ( x ) V '+ Q ( x ) V ] '+ A ( x ) V '- p B ( x ) V = 0 (1) a x V '+ b x V  0 a t x  0 , l (2) bu yerda, C ( x ) , Q ( x ) , A ( x ) , B ( x ) – matrisa-funksiyalar, a , b – konstanta-matrisalar bo‘lib, x x ularning ko‘rinishi qaralayotgan masalaning xususiyatlariga bog‘liq. Bu yerda xususiy qiymat p gomogen chegaraviy masala (1)–(2) yechimi notrivial bo‘lishi shartidan aniqlanadi. Mazkur chegaraviy masala matrisa differensial usuli yordamida yechiladi [9]. Buning uchun quyidagi gomogen oddiy differensial tenglamalar tizimi kiritiladi: [ C ( x ) '+ Q ( x ) ] + b 0  V V V  (3) Bu yerda ,   - matrisa-funksiyalari quyidagi Koshining no-gomogen masalasi yechimi sifatida aniqlanadi: ' ' [ A B ( ( x x ) ) Q ( ] x C ) 1 ( x ) ( 0 ( 0 ) ) a b 0 0 C - a -1 0 ( C 0 ) -1 ( 0 ) Q ( 0 ) (4) Chegaraviy shartlar (2) va (3)ni hisobga olgan holda, х = l nuqtadagi noma'lumlar U(l),U′ (l) uchun quyidagi 2×n o‘lchamli chiziqli algebraik tenglamalar tizimi hosil bo‘ladi: ( l ) a C l ( l ) ( l ) b ( l l ) Q ( l ) 0 0 U (5) Bu tizim xususiy qiymat рdan noaniq tarzda bog‘liq. Xususiy qiymatlar shartdan aniqlanadi: ( ) d e t ( l ) a C ( l ) ( l ) b ( l ) Q ( l ) 0 S p  l l  (6) Hosil bo‘lgan ildiz qiymatlari р (6) tenglamasidan (5), ga qo‘yiladi va baza funksiyalari к U′ (l), U (l) hisoblab chiqiladi. Keyin bu qiymatlar matrisa differensial usulining orqaga к к yurish sxemasi yordamida [9] хЄ[l,0] oralig‘ida baza funksiyalarini aniqlashda ishlatiladi. Yuqoridagi sxem