НЕЕДИНСТВЕННОСТЬ МЕРЫ ГИББСА ДЛЯ ОДНОГО ГАМИЛЬТОНИАНА С РАДИУСОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ДВА

Аннотация

Bu modelga mos Gamiltonianning aniq ko‘rinishi topilgan hamda parametrlarning ba’zi shartlarida kamida uchta translyasion-invariant Gibbs o‘lchovlari mavjudligi ko‘rsatilgan. Найдено точное представление гамильтониана этой модели и показано существование не менее трех трансляционно-инвариантных мер Гиббса при некоторых параметрических условиях. In order to study HC model it has been studied a model with an interaction radius of two and it has been shown the existence at least three translation-invariant Gibbs measures for the model on some values of the parameters; Ключевые слова. дерево Кэли, HC-модель, мара Гиббса. Дерево Кэли 83 Г к  ( V , L ) порядка k  1 - бесконечное дерево, т.е. граф без циклов, из каждой вершины которого выходит ровно k  1 ребер, где V есть множество вершин Гк , L –множество его ребер. Пусть i – функция инцидентности, сопоставляющая каждому ребру l  L его концевые точки x  y  V . Если i ( l )  { x  y } , то вершины x и y называются ближайшими соседями и обозначаются через  x  y  . Расстояние d(xy)xyV , на дереве Кэли определяется формулой d ( x  y )  m i n { d   x  x 0  x 1  …  x d  1  x d  y  V т а к и е  ч т о  x 0  x 1   …   x d  1  x d  }  Конфигурация  на V определяется как функция xV (x) 1,1 ; множество всех конфигураций совпадает с    V . Пусть A  V . Обозначим через  пространство конфигураций, определенных A на множестве A. Через А обозначим число элементов множества А . Обобщенный символ Кронекера как функцию A A определим следующим образом: U( )  A  (1) A A где A  V , и A      – число различных значений A ( x ) x A    . (см [1]). В этой работе мы рассмотрим случай А  4 . Обозначим через M множество всех шаров b (x) {yV d(xy)1} с радиусом 1. Гамильтониан определяется следующим образом «UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI www.in-academy.uz 84 H ( ) J b M U ( b )       (2) где J  R . Основная проблема для данного гамильтониана– это описание всех отвечающих ему мер Гиббса. Определение меры Гиббса и других понятий, связанных с теорией Гиббсовских мер, можно найти, например в [2]. Целью настоящей главы является изучение меры Гиббса для модели (2). Эта модель контурным методом изучена в работе [3], здесь мы преобразуем ее в HC (hard-core)-модель на дереве Кэли и применим метод марковских случайных полей и рекуррентных уравнений этой теории (см, например, работы , [1],[2],[5],[6],[7]). Зафиксируем х 0  V и обозначим: W n x  V : d ( x 0 , x )  n , V n x  V : d ( x 0 , x )  n . Рассмотрим вероятностное распределение  на  : V n  n   n  Z n 1 e x p H  n x W n h b  x , b x  ,          (3) где n V n , Z n n V n e x p H  n x W n h b  x , b x  ,       и h b , R  . Говорят, что вероятностные распределения  n   , (n 1) согласованы, если (n ) ( n ) ( n 1 , ( n ) ) n 1  n 1 (4) для всех n  1 и n 1 V n 1 . В этом случае существует единственная мера  на  V , такая, что     n   , для всех n 1 и   . V n n n n V n Мы рассмотрим случай k = 2. Пусть b ( x ) = { x , x a 1 , x a 2 , x a 3 } и  b ( x ) = {  ( x ) ,  ( x a 1 ) ,  ( x a 2 ) ,  ( x a 3 ) } . Для аМ , через b , c обозначим «прямые потомки» шара а (см  3  ). Рассмотрим конфигурации  ={,,,},  ={,,,},  ={,,,}, ={,,,}, 0 1 2 3 0 = {  ,  ,  ,  } ,  1 = {  ,  ,  ,  } ,  2 = {  ,  ,  ,  } ,  3 = {  ,  ,  ,  }     на единичном шаре. Обозначим h b 0, 0 = h b ,0 , h b 0, 1 = h b ,1 , h b 0, 2 = h b ,2 , h b 1, 1 = h b ,3 , h b 1, 2 = h b ,4 , h b 1, 3 = h b ,5 ,       h1 =h , h1 =h , h1 =h , h0 =h , h0 =h , h0 =h . b,1 b,6 b,2 b,7 b,3 b,8 b,0 b,9 b,1 b,10 b,2 b,11 Следующая теорема дает необходимые и достаточные условия на h при b, которых выполняется (4). «UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI www.in-academy.uz Теорема 1[8]. Вероятностные распределения 85  n   n  ,   n  1 , 2 , . . . в (3) согласованы, если для любого aM имеют место следующие уравнения: y a ,0 y y b b ,0 ,0 y y b b ,1 ,1 y y b b ,2 ,2 y y c c ,0 ,0 y y c c ,1 ,1 y y c c ,2 ,2 y a ,1 y y b b ,0 ,0 y y b b ,1 ,1 y y b b ,2 ,2 y y c c ,0 ,3 y y c c ,1 ,4 y 1 c ,2 , y  y 1 y  y 1 y  b,3 b,4  c,3 c,4 , (5) a,2 y  y  y y  y  y b,0 b,1 b,2 c,0 c,1 c,2 y  y 1 y  y 1 y  b,3 b,4  c,3 c,4 , a,3 y  y  y y  y  y b,0 b,1 b,2 c,0 c,1 c,2 y  y 1 y  c,3 c,4 , a,4 y  y  y c,0 c,1 c,2 где e x p  J  , 1 T      , y a ,i  e x p ( h a ,i  h a ,5 ) , i  0 , 4 . Заметим, что трансляционно-инвариантные (ТИ) меры Гиббса соответствуют решениям (5) с y a ,i  y i , при всех a  M и i  0 , 1 , 2 , 3 , 4 . Теорема 2[8]. Для модели (2) существует c r  1 , 7 8 4 5    такое что при 1 1 8 2 1 c