BA’ZI FIZIKA FANIGA OID MASALALARNI DIFFERENSIAL TENGLAMALAR YORDAMIDA YECHISH

Аннотация

The article presents methods for solving physics problems using differential equations. Keywords: differential equation, solution, particular solution, cooling of a body, salt mixture. Ilmiy ishning dolzarbligi: fizika, matematika, biologiya, kimyo, meditsina, farmatsevtika va boshqa fanlarda uchraydigan ko’plab jarayonlar differensial tenglamalar yordamida tavsiflanadi. Shu tenglamalarni o’rganish bilan tegishli jarayonlar haqida biror ma’lumotga, tasavvurga ega bo’lamiz. O’sha differensial tenglamalar o’rganilayotgan jarayonning matematik modelidan iborat bo’ladi. Bu model qancha mukammal bo’lsa, diffensial tenglamalarni o’rganish natijasida olingan ma’lumotlar jarayonlarni shuncha to’la tavsiflaydi. Ishning maqsadi: differensial tenglamalarning fizik masalalarni yechishga tatbiqlari o’rganilgan. Tadqiqot uslubi va materiallari: fizik masalaning shartiga ko’ra differensial tenglamani tuzishda quyidagi ketma-ketlik tavsiya etiladi: 1. Qaralayotgan hodisada o’zgaruvchi qiymatlarni o’rnatish va ular bilan bog’liq bo’lgan fizik qonunlarni ochib berish; 2. Biz topmoqchi bo’lgan erkli o’zgaruvchi va noma’lum funksiya tanlash; 3. Masala shartlaridan kelib chiqib boshlang’ich va chegaraviy shartlarni aniqlash; 4. Masala shartlarida asosiy rol o’ynaydigan qiymatlarni erkli o’zgaruvchi, noma’lum funksiya uning hosilalari orqali ifodalash. 5. Qaralayotgan hodisa bo’ysunadigan fizik qonunlar va masala shartlaridan kelib chiqib differensial tenglamani tuzish; 6. Differensial tenglamaning umumiy yechimi yoki umumiy integralini topish; 7. Boshlang’ich yoki chegaraviy shartlarga ko’ra xususiy yechimni topish; 8. Olingan yechimni tahlil qilish. Qaralayotgan jarayonni yoki o’rganilayotgan hodisaning xarakteristikalari orasidagi bog’liqlikni ifodalaydigan differensial tenglamani tuzish, ba’zida buni yechishdan ko’ra osonroq bo’lib chiqadi. Differensial tenglamalar tuzishning universial usuli mavjud emas, shuning uchun faqatgina ba’zi umumiy ko’rsatmalar berish mumkin. Faraz qilaylik, y  y(t) 57 «UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI www.in-academy.uz t - o’rganilayotgan jarayonning va 58 y xarakteristikalari orasidagi noma’lum bog’liqlik bo’lsin. y ( t ) t funksiya yechim bo’ladigan differensial tenglamani tuzishda erkli o’zgaruvchi ga  t ortirma qo’shilganda y ( t ) funksiya qanchaga o’zgarishini ifodalash zarur, ya’ni y(t t) y(t) ayirmani masalada qaqtnashadigan qiymatlar orqali ifodalash kerak. Bu ayirmani  t ga bo’lib va  t  0 da limitga o’tib, differensial tenglamani, ya’ni t nuqtada y qiymatning o’zgarish tezligi bog’liqligini olamiz. Ko’p hollarda ko’rsatilgan bog’liqlik qonun yoki tabiatning u yoki bu sohasida o’rnatilgan tajriba faktlari asosida aniqlanadi. Bunda xususan, hosilaning geometrik ma’nosi yoki uning fizik ma’nosidan foydalaniladi[1,2,3]. Jismning sovishi haqidagi masala. Massasi m, issiqlik sig’imi c o’zgarmas bo’lgan jism boshlang’ich paytda T 0 temperaturaga ega bo’lsin. Atrof muhit temperaturasi o’zgarmas va T ( T 0  T M ) ga teng. Jismning cheksiz kichik dt vaqt ichida bergan issiqlik jism va uning atrofidagi muhit temperaturalari orasidagi farqqa, shuningdek, vaqtga proportsional ekanligini (Nyuton qonuni) etiborga olgan holda jismning sovush qonunini topish talab qilinsin [1]. Yechish. Sovush davomida jism temperaturasi T 0 dan T M t gacha pasayadi. Vaqtning paytida jism temperaturasi T ga teng bo’lsin. Cheksiz kichik dt vaqt oralig’ida jism bergan issiqlik miqdori yuqorida aytilganiga ko’ra d Q ( T T M ) d t     ga teng, bunda c o n s t   - proportsionalllik koeffitsienti. Ikkinchi tamondan, jism T temperaturadan T M temperaturagacha sovuganda beradigan issiqlik miqdori Q  m c ( T  T m ) ga teng , demak, d Q  m c d T . Endi d Q uchun topilgan har ikkala ifodani taqqoslab m c d T ( T T M ) d t     differensial tenglamani hosil qilamiz. O’zgaruvchilarni ajratib T d T T M m c d t , integrallasak, l n ( T T M ) m c t l n C yoki T T M C e m t c ekani kelib chiqadi. t 0 T T da boshlang’ich shartdan foydalanib 0 C  T 0  T M ekanligini topamiz, shuning uchun jismning sovush qonuni (xususiy echim) T T M ( T 0 T M ) e m t c ko’rinishda bo’ladi. koeffitsient yo bevosita berilishi yoki qo’shimcha shart, masalan, t  t 1 T T da orqali 1 berilishi kerak. Bunday holda «UCHINCHI RENESSANS: TIBBIY VA FARMATSEVTIK TA’LIM ISLOHOTLARI JARAYONIDA GUMANITAR FANLARNING VAZIFASI VA ISTIQBOLLARI» MAVZUSIDA RESPUBLIKA ILMIY-AMALIY ANJUMANI www.in-academy.uz 59 T 1 T M ( T 0 T M ) e m tmc  bo’ladi, bundan 1   T T t 2 e mc   1 M  . T T 0 M Demak, t T T t 1 T T (T T ) 1 M . M 0 M T T 0 M Masala. Agar muhit temperaturasi T m  2 0 0 C bo’lsa, t 1  1 0 min ichida jism T 0  1 0 0 0 C dan T 1  6 0 0 C gacha sovisa, jism temperaturasi qancha vaqt ichida 2 5 0 C gacha pasayishini toping [1]? Yechish. Biz quyidagi T  T M  ( T 0  T M ) T 1 0 T T M M t t1 formul