МОДЕЛИ ОДНОВРЕМЕННОЙ АВТОРЕГРЕССИИ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Аннотация

This article proposes new ideas for estimating the parameters of a simultaneous autoregression model. The proposed estimators have a simpler marginal distribution than conventional least squares estimators. Key words: simultaneous autoregression model, limit theorem, Wiener process, least squares method, normal distribution law. Biz ushbu maqolada bir vaqtli avtoregressiya modelida noma’lum parametrlar uchun nostandart baholarning limit teoremalari bilan tanishib o’tamiz. Bir vaqtli avtoregressiya modeli deb quyidagi ( ) ì (n) (n) a X + X +e , k =1,2,...,n-1, ï k-1 k+1 k (n) X = í (1) k ïX (n) ; X (n) , berilgan tasodifiy miqdor, î 0 n modelga aytiladi (q. [1]), bunda a-noma’lum parametr, {e , k =1,2,...,n -1}-matematik kutilmasi nol dispersiyasi birga teng bo’lgan k bog’liqsiz tasodifiy tasodifiy miqdorlar. (1) model turg’un bo’ladi agar a 1 2 bo’lsa. Yuqorida keltirilgan model uchun eng kichik kvadratlar usulida qurilgan baho ko’rinishi quyidagicha [1],[2]: 182 www.namspi.uz universaljurnal.uz n-1 (n)( (n) (n)) å X X + X ( k k-1 k+1 a = k=1 . n n-1( (n) (n))2 å X + X k-1 k+1 k=1 Bu baho uchun limit taqsimotni topish uchun X (n) tasodifiy miqdorlarni k e,...,e miqdorlar orqali ifodalash lozim. 1 n-1 Teorema [1]. Agar a= ±1 2, u holda æ k ö k X(n) =(±1)k 1- X(n) +(±1)k X(n) + ç ÷ k 0 n è nø n æ k ök-1 k n-1 +2 1- å(±1)k+l le +2 å(±1)k+l(n-l)e. (2) ç ÷ l l è nø n l=1 l=k Kritik tipda bir vaqtli avtoregressiya modeli uchun yuqoridagi bahoning limit taqsimoti uchun quyidagi limit teorema o’rinli. Teorema [1]. Agar {e , kÎN}-tasodifiy miqdorlar Ee = 0, E(e)2 =1 k 1 1 va E(e )8 < ¥, bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo’lsa, u holda a=1 2 1 bo’lganda 1 òcdw ( t t n 2(a -a)Þ 0 , n 1 2ò (c)2 dt t 0 bu yerda (w ) -standart viner jarayoni va t tÎ[0,1] t 1 c = 2(1-t) òsdw + 2tò (1-s)dw , tÎ[0,1]. t s s 0 t Bulardan ko’rinadikia=1 2 holda (1) modelda noma’lum parametr uchun eng kichik kvadratlar usulida qurilgan baho murakkab limit taqsimotga ega ( q. [1], [2],[3]), va a= -1 2 bo’lgan hol uchun esa bu teorema o’rinli emas. Biz quyida kritik hollarda ya’ni a=1 2 va a= -1 2, hollarda soddaroq strukturaga va limit taqsimotga ega bo’lgan nostandart baholar bilan tanishib o’tamiz. Navbatda a=1 2 va a= -1 2, tiplar uchun nostandart baholarni alohida-alohida ko’rib chiqamiz. 1-hol. a=1 2 bo’lganda (1) tenglamani k bo’yicha 1 dan n-1 gacha yig’idi tuzamiz n-1 n-1( ) n-1 (n) (n) (n) å X =aå X + X + åe k k-1 k+1 k k=1 k=1 k=1 yoki qisqacha ko’rinishda X =aY + Z . (3) n n n Navbatda (3) tenglamada Z , miqdorni hisobga olmagan holda yechimini n topamiz va quyidagi bahoga ega bo’lamiz 183 www.namspi.uz universaljurnal.uz a* = X Y . n n n Enda (3) dan foydalanib chegirmani topamiz a* -a= Z Y . (4) n n n 2-hol. a= -1 2 bo’lganda (1) tenglamani ikkala qismini (-1)k ga ko’paytirib so’ngra k bo’yicha 1 dan n-1 gacha yig’idi tuzamiz n å -1 (-1)k X (n) =a n å -1 (-1)k ( X (n) + X (n) ) + n å -1 (-1)k e k k-1 k+1 k k=1 k=1 k=1 yoki qisqacha ko’rinishda X % =aY % + Z % . (5) n n n Navbatda (4) tenglamada Z % , miqdorni hisobga olmagan holda yechimini n topib nostandart bahoga va bu baho uchun quyidagi chegirmaga ega bo’lamiz a% -a= Z % Y % . (6) n n n Enda oddiy holda ya’ni X (n) = X (n) = 0 bo’lganda quyidagi limit 0 n teorema isboti bilan tanishib chiqamiz. Teorema A. {e , k =1,2,...,n -1}-miqdorlar matematik kutilmasi nol va k dispersiyasi birga teng bo’lgan bog’liqsiz bir hil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar bo’lib 1. Agar a=1 2 bo’lsa, u holda n®¥ ( ) 2 * sn a -a Þx x ; n 1 2 2. Agar a= -1 2 bo’lsa, u holda n®¥ sn2(a% -a)Þ -x x , n 1 2 bunda s2 = 2 15, (x,x)-matematik kutilmasi nol va kovariasion 1 1 æ 1 5 24ö matrisasi ç ÷ ga teng bo’lgan normal taqsimlangan vector. ç ÷ 5 24 1 è ø 1 Yuqoridagi teoremaga o’xshash usul bilan a(n)®± , n®¥ bo’lgan 2 hollarda ham nostandart baholar uchun asimptotik limit taqsimotlarini topish mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar 184 www.namspi.uz universaljurnal.uz 1. Baran. S., Pap. G. Asymptotic inference for a one-dimensional simultaneous autoregressive model // Metrika, 2009. DOI 10.1007/s00184-009-0289-5. 2. Anderson T.V. On asymptotic distributions of estimates of parameters of stochastic difference Equations // Ann. Math. Statist, 1959. -V.30. -Pp. 676-687. 3. White, J.S. The limiting distribution of the serial correlation coefficient in the explosive case // Ann. Math. Statist, 1958. -V. 29. -Pp. 1188-1197. 185 www.namspi.uz universaljurnal.uz