о модели негладкой задачи оптимального управления для динамической системы в условиях неточности начальных данных

Аннотация

В работе рассматривается математическая модель одной негладкой задачи оптимального управления. При предположении неточности начальных данных динамической системы для задачи минимизации негладкого функционала изучены условия оптимальности. Ключевые слова: система управления, неточность данных, негладкий функционал, условия оптимальности. 1. Введение. Математическая теория экстремальных задач имеет широкие приложения к прикладным задачам управления и оптимизации, возникающих в разнообразных сферах науки, техники, экономики и производства. Современные исследования по разработке новых эффективных методов оптимизации неразрывно связаны развитием других разделов математики, такие как, функциональный анализ, выпуклый и негладкий анализ, теория дифференциальных уравнений, теория динамических систем и теория дифференциальных включений [1–3, 5–7 ]. Вопросы принятия решения в экономическом планировании и организации производства, при проектировании технических устройств и управления технологическими процессами приводят к новым задачам оптимизации. Негладкие задачи оптимизации составляют широкий класс математических моделей таких задач [1,2]. В этих задачах как обычно критерий качества управления задается негладким терминальным функционалом. 372 Одним из подходов, используемых при принятии решения в условиях неполноты информации о начальных данных системы и внешних воздействий, является принцип минимакса [3], который предполагает получения гарантированного значения критерия качества управления. Это обычно приводит к задачам оптимизации негладкой функции типа максимума или минимума [1]. В исследованиях негладких задач оптимизации широко используются методы многозначного, негладкого и выпуклого анализа [2,4,5]. В данной работе рассматривается динамическая система управления с дискретным параметром и неполной информацией о начальном состоянии. В качестве критерия оценки качества управления рассматривается терминальный функционал типа функции минимума. 2. Постановка задачи. Рассмотрим динамическую систему управления с параметром вида x  A(t,y)xb(t,u,y),tT [t ,t ], uV, yY , (1) 0 1 где xn-вектор состояния, u m-вектор управления, y–k -мерный параметр, который принимает дискретные значения, т.е. Y {y ,y ,..., y }, A(t,y)–nn-матрица, 1 2 q b(t,u,y)Rn; V – компактное подмножество пространства Rm. Будем считать, что начальное состоянии системы неточная, т.е. x(t )D(y), где 0 D(y) – выпуклое компактное подмножество Rn. Относительно правой части уравнения (1) будем предполагать, что выполнены следующие условия: 1) элементы матрицы A(t,y) суммируемы по tT при каждом yY ; 2) отображение (t,u,y)b(t,u,y) измеримо по tT и непрерывно по uV,при каждом yY , причем b(t,u,y) (t), ()L (T). 1 Допустимыми управлениями для системы (1) будем считать каждую измеримую ограниченную m -вектор-функцию u u(t), tT, принимающие почти всюду на T значения из множества V . Обозначим через U – множество допустимых управлений. T При заданных условиях для каждого допустимого управления uU и параметра T yY существует единственное абсолютно непрерывное решение x  x(t,u,x ,y) 0 уравнения (1), удовлетворяющее начальному условию x(t )  x . Обозначим через 0 0 H (u,y)–множество всех абсолютно непрерывных решений уравнения (1) с начальным T условием x(t )D(y). Пусть качество управления динамической системой (1) 0 оценивается негладким терминальным функционалом J(u,x )inf (P(y)x(t ,u,x ,y),l), 0 1 0 lL yY где P(y)–sn-матрица, Lограниченное множество из Rs. Поскольку начальное состояние системы (1) задано неточно, целью управления является достижение наилучшего результата при наиболее неблагоприятных воздействиях неточной информации о начальном состоянии системы. Иначе говоря, для системы (1) рассмотрим следующую минимаксную задачу: J(u) max inf (P(y)x(t ),l)min,uU . (2) 1 T x()H (u,y),yY lL T yY 3. Методы и результаты исследования. Рассмотрим множество достижимости системы управления (1), состоящее из концов всех траекторий x()H (u,y) в момент T времени t t , т.е. следующее множество: 1 0 X (t ,u,y) {Rn | x(t ),x()H (u,y)}. T 1 1 T В силу результатов работы [8] множество X (t ,u,y) является выпуклым компактом из T 1 Rn. 373 Используя известную из выпуклого анализа [4] теорему о минимаксе, нетрудно получить, что справедливо равенство max inf (P(y)x(t ),l) inf  max (P(y)x(t ),l)uU . 1 1 T x()H (u,y),yY lL lcoL x()H (u,y),yY T yY yY T Следовательно, минимаксную задачу (2) можно записать в следующем виде: inf С(P(y)X(t ,u,y),l)min,uU , (3) 1 T lcoL yY где С(PX,l) sup(P,l)– опорная функция множества PX , coL– выпуклая оболочка множества L. Таким образом, минимаксная задача (2) сведена к задаче повторной минимизации (3). Из вида данной задачи ясно, что она является задачей управления терминальным состоянием ансамбля траекторий динамической системы (1) с неточно заданным начальным состоянием. Воспользовавшись формулой Коши для абсолютно непрерывного решения уравнения (1) легко убедиться, что справ