Noaniqlik sharoitidagi boshqaruv tizimi uchun silliqmas terminal funksionalning xossalari

Аннотация

Ishda chiziqli dinamik tizimni tashqi ta‘sir parametrlari noaniqligi sharoitida optimal boshqarish masalasi modeli qaralgan. Shu modelda maximin tipdagi silliqmas terminal funksionalning ba‘zi xossalari o‗rganilgan. Kalit so‗zlar: boshqaruv tizimi modeli, noaniqlik sharoiti, terminal funksional, silliqmas masala, optimal boshqaruv. Boshqaruvning amaliy masalalari modellashtirilganda o‗lchash xatolari, tashqi kuchlar ta‘siri, axborotning kechikishi va noaniqligi kabi bir qator muhim omillarni hisobga olish zarur bo‗ladi. Amaliyot uchun muhim ahamiyatga ega bunday modellar tadqiqi noaniqlik sharoitidagi optimal boshqarish masalalari matematik nazariyasining rivojlanishiga olib keldi [1,2,3]. Noaniqlik sharoitidagi tizimlarni boshqarish masalalarida asosiy yondashuvlardan biri – sifat mezonining kafolatlangan qiymatiga erishish maqsadining qo‗yilishidan iborat. Bu esa minimaksli meson bo‗yicha optimal boshqarishga, ya‘ni boshqarish sifatini miqdoriy baholovchi maqsad funsionalining maksimumini minimallash masalasiga olib keladi [4,5]. Ushbu tipdagi masalalarga xos muhim belgi – maqsad funsionalining silliqmasligidir. Bunday modellarga oid tadqiqotlar natijasida silliqmas optimal boshqaruv masalalarini yeshish usullari rivojlanmoqda [1-7]. 2. Minimaksli masalaning qo‗yilishi. Rn – n-o‗lchamli x (x ,...,x ) vektorlar Yevklid 1 n n n fazosi, (x,y)  x y – bu fazoda vektorlar skalyar ko‗paytmasi, x  (x2) 1 2 – xRn i i i i1 i1 vektorning normasi bo‗lsin. Holat vektori хRn bo‗lgan ob‘ektining harakati x  A(t)xB(t)uC(t)v, t[t ,t ] (1) 0 1 349 ko‗rinishdagi vektorli differensial tenglama bilan berilgan deb hisoblaymiz, bu yerda А(t)nnmatritsa, B(t)nmmatritsa, C(t)nk matritsa, uRm– boshqaruv vektori, vRk  noaniq tashqi ta‘sirlar parametri. Tashqi ta‘sirlar parametri haqida axborot minimal, ya‘ni faqat vW , W – berilgan qavariq va kompakt to‗plam ekanligi ma‘lum. Shuning uchun mumkin bo‗lgan tashqi ta‘sirlar W to‗plamdan qiymatlar qabul qiluvchi barcha v v(t), tT [t ,t ] o‗lchovli va chegaralangan funksiyalarning W(T) to‗plamini tashkil 0 1 etadi deb hisoblaymiz. U(T) joyiz boshqaruvlar to‗plami qavariq va kompakt U to‗plamdan qiymatlar qabul qiluvchi u u(t), tT o‗lchovli funksiyalardan iborat bo‗lsin. Agar A(t), B(t) va C(t) matritsalar elementlari T [t ,t ] oraliqda o‗lchovli (masalan, uzluksiz yoki bo‗lakli uzluksiz 0 1 ) bo‗lsa, u holda differensial tenglamalar nazariyasiga ko‗ra, har bir uU(T) , vW(T) va x(t )x0 boshlang‗ich shartga mos ravishda (1) boshqaruv tizimining yagona 0 x(t)  x(t,x0,u,v) absolyut uzluksiz yechimi – traektoriyasi mavjud bo‗ladi. Qaralayotgan (1) tizimda boshqaruv sifatini miqdoriy baholash uchun x(t)  x(t,x0,u,v) traektoriyalarda aniqlangan. g(x(t ,x0,u,v))min(l ,x(t ,x0,u,v)) (2) 1 i 1 i1,v ko‗rinishdagi terminal funksionalni qaraymiz , bu yerda l Rn, i 1,v - berilgan vektorlar. i (1) tizim uchun x0 boshlang‗ich nuqta ham noaniq, ya‘ni faqat x0 D shart ma‘lum bo‗lsin, bunda D Rn  biror kompakt to‗plam. Shuning uchun (1) tizimda boshqaruvni (2) terminal funksional asosida baholashda boshqaruv mezoni sifatida J(u)max max g(x(t ,x0,u,v)) (3) 1 x0D vW(T) maqsad funksionaliga kelamiz. (2) funksional ko‗rinishini hisoga olsak, (3) – maximin tipdagi funksionaldan iborat. Quyidagi optimal boshqaruv masalasini qaraymiz: shunday u* U(T) joyiz boshqaruvni topish talab etiladikii, bu boshqaruvda (3) funksional o‗zining minimal qiymatiga erishsin:J(u*) min J(u). Bu minimallashtitish masalasida (3) funksional uU(T) maksimum va mnimum amallari orqali aniqlanmoqda. Shuning uchun uni silliqmas optimal boshqaruv masalalari sinfiga oid deb hisoblash mumkin. 3. Erishsh to‗plami uchun Koshi formulasi. F(t,) nnmatritsa (1) chiziqli tizimga mos bir jinsli tizim fundamental yechimlar matritsasi bo‗lsin. F(t,) matritsa har bir argumenti bo‗yicha uzluksiz differensiallanuvchi va u F(t,)  A(t)F(t,), t,T, F(,)  E tengliklarni qanoatlantiradi. Ma‘lumki [1] F(t,) fundamental matritsa yordamida (1) tizimning x(t,x0,u,v) trayektoriyasi t t x(t,x0,u,v)  F(t,t )x0  F(t,)B()u()d F(t,)C()v()d (5) 0 t t 0 0 Koshi formulasi bilan tasvirlanadi. Endi (1) tizimning barcha vW(T) parametrga mos keluvchi trayektoriyalarining t t momentdagi x(t ,x0,u,v) uchlaridan tuzilgan to‗plamni qaraymiz: 1 1 X(t ,x0,u) Rn : x(t ,x0,u,v),vW(T) . Noaniqlik sharoitidagi (1) tizimning har joiz 1 1 boshqaruvga mos ravishda barcha mumkin bo‗lgan tashqi ta‘sirirlar bo‗yicha trayektoriyalari tomonidan erishishilaigan terminal holatlar to‗plami deb tushuniladigan X(t ,x0,u) to‗plamni 1 (5) Koshi formulasidan foydalanib tasvirlash mumkin. Haqiqatan ham, agar quyidagi Ф(t,) F(t,)C()W  : F(t,)C()v,vW 350 akslantirishni qarasak, bu akslantirish har bir (t,)T T nuqtaga Rn fazoning qavariq va kompakt Ф(t,) to‗plamini mos qo‗yadi. Ko‗p qiymatli akslantirishlar nazariyasiga ko‗ra Ф(t,) akslantirish har bir argument bo‗yicha uzluksizdir. Endi (5) Koshi formulasida