Оddiy differensial tenglamalarni sonli yechish

Аннотация

Koʻpincha differensial tenglamaning aniq yechimini topishning iloji bo‘lmaydi. Bu holatda taqribiy yechimni sonli yechishga to‘g‘ri keladi. Funksiyaning ma‘lum bir oraliq chegaralaridagi qiymati asosida oraliqning boshqa nuqtalaridagi qiymatlarini hisoblash uchun quyidagi usullar yordamga keladi. Kalit soʻzlar: Koshi masalasi, Eyler usuli, Eyler-Koshi usuli. Oddiy differensial tenglamalar uchun boshlang‘ich shartlarning berilishiga ko‘ra ikki xil boladi. Funksiyaning biron bir oraliqning chegarasidagi yoki bitta nuqtadagi qiymati berilgan bo‘ladi. Oraliqning chegarasida qiymatlari berilgan bo‘lsa, chegaraviy masala, bitta nuqtada qiymatlari berilgan bo‘lsa, Koshi masalasi deyiladi. Biz oddiy differensial tenglama uchun qo‘yilgan Koshi masalasini Eyler usulida yechishni ko‘rib chiqamiz[1]. 347 1-misol. y´=x2+2y; y(0)=1 Koshi masalasining [0;0,4] oraliqda h=0,1 qadam bilan yechimini topamiz. Yechish. Differensial tenglamaning o‘ng tomoni: f(x,y)=x2+2y; Boshlang‘ich qiymatlar: x =0; y =1; 0 0 Yechim aniqlanishi lozim bo‘lgan [a;b]oraliq: a=0; b=0,4; Oraliqning bo‘linish soni: n=4; h=0,1. x = x+h; ∆y=h f(x;y); y =y+∆y; (i=0;1;2;3) i+1 i i * i i i+1 i i Ushbu rekurrent formulalar bilan quyidagilarni topamiz: 1-qadam: i=0; x = x +h=0+0,1=0,1; ∆y =h f(x ;y )=0,1 (x2 +2 y )= 1 0 0 * 0 0 * 0 * 0 =0,1 (02+2 1)=0,2; y =y +∆y =1+0,2=1,2; * * 1 0 0 2-qadam: i=1; x = x +h=0,1+0,1=0,2; ∆y =h f(x ;y )=0,1 (x2 +2 y )= 2 1 1 * 1 1 * 1 * 1 =0,1 (0,12+2 1,2)=0,241; y =y +∆y =1,2+0,241=1,441; * * 2 1 1 3-qadam: i=2; x = x +h=0,2+0,1=0,3; ∆y =h f(x ;y )=0,1 (x2 +2 y )= 3 2 2 * 2 2 * 2 * 2 =0,1 (0,22+2 1,441)=0,292; y =y +∆y =1,441+0,292=1,733; * * 3 2 2 4-qadam: i=3; x = x +h=0,3+0,1=0,4; ∆y =h f(x ;y )=0,1 (x2 +2 y )= 4 3 3 * 3 3 * 3 * 3 =0,1 (0,32+2 1,733)=0,3556; y =y +∆y =1,733+0,3556=2,0886; * * 4 3 3 Shu oddiy differensial tenglama uchun qo‘yilgan Koshi masalasini Eyler-Koshi usulida yechamiz[3]. 2-misol. y´=x2+2y; y(0)=1 Koshi masalasining [0;0,4] oraliqda h=0,1 qadam bilan yechimini topamiz. Yechish. Differensial tenglamaning o‘ng tomoni: f(x,y)=x2+2y; Boshlang‘ich qiymatlar: x =0; y =1; 0 0 Yechim aniqlanishi lozim bo‘lgan [a;b]oraliq: a=0; b=0,4; Oraliqning bo‘linish soni: n=4; h=0,1. x = x+h; y =y+∆y; (i=0;1;2;3) i+1 i i+1 i i ∆y=(K(1)+ K(2))/2; K(1)=h f(x;y); K(2)=h f(x+h;y+K(1)); i i i i * i i i * i i i Bu formulalar bilan quyidagilarni topamiz: 1-qadam: i=0; x = x +h=0+0,1=0,1; K (1)=h f(x ;y )=0,1(02+2 1)=0,2; 1 0 0 * 0 0 * K (2)=h f(x +h;y +K (1))=0,1[(0+0,1)2+2 (1+0,2)]=0,1[0,01+2,4]=0,241; 0 * 0 0 0 * ∆y =(K (1)+ K (2))/2=(0,2+0,241)/2=0,441/2=0,2205; 0 0 0 y =y +∆y =1+0,2205=1,2205; 1 0 0 2-qadam: i=1; x = x +h=0,1+0,1=0,2; 2 1 K (1)=h f(x ;y )=0,1(0,12+2 1,2205)=0,1(0,01+2,441)=0,245; 1 * 1 1 * K (2)=h f(x +h;y +K (1))=0,1[(0,1+0,1)2+2 (1,2205+0,245)]= 1 * 1 1 1 * 0,1 [0,04+2,931]=0,1 2,971=0,2971; * * ∆y =(K (1)+ K (2))/2=(0,245+0,2971)/2=0,5421/2=0,27105; 1 1 1 y =y +∆y =1,2205+0,27105=1,49155; 2 1 1 3-qadam: i=2; x = x +h=0,2+0,1=0,3; 3 2 K (1)=h f(x ;y )=0,1(0,22+2 1,49)=0,1(0,04+2,98)=0,302; 2 * 2 2 * K (2)=h f(x +h;y +K (1))=0,1[(0,2+0,1)2+2 (1,49+0,302)]= 2 * 2 2 2 * 0,1 [0,09+3,584]=0,1 3,674=0,3674; * * ∆y =(K (1)+ K (2))/2=(0,302+0,3674)/2=0,6694/2=0,3347; 2 2 2 y =y +∆y =1,49155+0,3347=1,85895; 3 2 2 4-qadam: i=3; x = x +h=0,3+0,1=0,4; 4 3 K (1)=h f(x ;y )=0,1(0,32+2 1,859)=0,1(0,09+3,718)=0,38; 3 * 3 3 * K (2)=h f(x +h;y +K (1))=0,1[(0,3+0,1)2+2 (1,859+0,38)]= 3 * 3 3 3 * 0,1 [0,16+4,478]=0,1 4,638=0,4638; * * ∆y =(K (1)+ K (2))/2=(0,38+0,4638)/2=0,8438/2=0,4219; 3 3 3 348 y =y +∆y =1,85895+0,4219=2,28085; 4 3 3 Hisoblangan ma‘lumotlarni jadvalda keltiramiz: i x y –Eyler usulida y –Eyler-Koshi usulida Farqi i i i 1 0,1 1,2 1,2205 0,0205 2 0,2 1,441 1,49155 0,05055 3 0,3 1,733 1,85895 0,12595 4 0,4 2,0886 2,28085 0,19225 Jadvaldan ko‘rinadiki, berilgan oraliqdagi x qiymatlariga mos Eyler va Eyler-Koshi i usullarida topilgan y taqribiy yechimlarning farqi 0,2 dan ortmaydi[2]. i Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati: 1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. Toshkent, Oʻqituvchi, 1-qism, 2003, 2-qism, 2008. 2. Aloyev R.D., Xudoyberganov M.Oʻ. Hisoblash usullari kursidan laboratoriya mashg‘ulotlari toʻplami. OʻzMU . Oʻquv qoʻllanma . 2008 y. 110 b. 3. Xandamov, Y. (2020). Система моделирования разрешения и совершенствования непрерывного образования. Архив Научных Публикаций JSPI. NOANIQLIK SHAROITIDAGI BOSHQARUV TIZIMI UCHUN SILLIQMAS TERMINAL FUNKSIONALNING XOSSALARI 1Otakulov Salim, 2Murotboyev Mirjalol Baxtiyor o‗g‗li 1Fizika-matematika fanlari doktori, professor, Jizzax politexnika instituti 2O‗zbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali magistranti Annotatsiya: Ishda chiziqli dinamik tizimni tashqi ta‘sir parametrlari noaniqligi sharoitida optimal boshqarish masalasi modeli qaralgan. Shu modelda maximin tipdagi silliqmas terminal funksionalning ba‘zi xossalari o‗rganilgan. Kalit so‗zlar: boshqaruv tizimi modeli, noaniqlik sharoiti, terminal funksional, silliqmas masala, optimal boshqaruv. Boshqaruv