S.N. Bernshteynning lokal tengsizligi

Аннотация

Ushbu maqolada S.N. Bernshteyn tengsizliginig biror tayin nuqta atrofidagi lokal analogi isbotlangan. 338 Kalit soʻzlar: Trigonometrik ko‘phad, trigonometrik ko‘phad ildizlari, nuqtaning – atrofi, ikki karrali maxsus integral. 1961-yil nashr etilgan N.K.Barining ―Тригонометрическй ряды‖ monografiyasida trigonometrik ko‗phadlar uchun S.N.Bernshteyn tengsizligi deb ataluvchi teorema keltiradi (47 bet). Teorema (S.N. Bernshteyn [1]). Agar - tartibi n dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad bo‗lib va ixtiyoriy uchun tengsizligi bajarilsa, u holda uchun tengsizlik o‗rinli. I.I. Privalov quyidagi tengsizligini isbotlagan, bu yerda va o‗zgarmas son faqat larga bog‗liq. Bu tengsizlik S.N.Bernshteyn tengsizliginig local analogi deyiladi. D. Jackson [4] bu tengsizlikni I.I.Privalovga bog‗liq bo‗lmagan holda qayta isbotlagan. berilgan nuqta. Quyidagi belgilashni kiritamiz: Odata bu to‗plam nuqtaning ― – atrofi‖ deyiladi. Bu maqolada quyidagi teorema isbotlangan. Теорема. Agar - tartibi n dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad bo‗lib va ixtiyoriy uchun tengsizligi bajarilsa, u holda uchun tengsizlik o‗rinli, bu yerda o‗zgarmas son , - larga bog‗liq emas. Bu teoremani isbotlashdan oldin quyidagi lemmani isbotlaymiz. Лемма. Agar - tartibi n dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad bo‗lib va ixtiyoriy uchun 339 va shunday topilib bo‗lsa, u holda lar uchun tengsizligi o‗rinli. Isbot. Quyidagi belgilashni kiritamiz va faraz qilaylik, lemma o‗rinli bo‗lmasin. U holda shunday topiladiki , ya‘ni Faraz qilaylik, (agar bo‗lsa, u holda o‗rniga oraliqni qaraymiz) bo‘lsin. funksiya tartibi dan katta bo‗lmagan trigonometrik ko‗phad bo‗lib, oraliqda dan ko‗p bo‗lmagan ildizlarga ega. Yuqoridagi farazimizga ko‗ra funksiya dan ko‗p bo‗lmagan ildizlarga ega ekanligini ko‗rsatamiz. Haqiqatdan ham, ixtiyoriy lar uchun quyidagi munosobat o‗rinli: Agar bo‗lsa, u holda , agar bo‗lsa, u holda bo‗ladi. Demak ixtiyoriy lar uchun va , shuning uchun kesmada funksiya ildizga ega. Bundan tashqari oraliqda yotuvchi har bir kesmalarda bittadan ildizlar mavjud, chunki kesma chetlarida har xil ishoralarga ega yoki nolga teng. Shunday qilib, funksiya dan kam bo‗lmagan ildizlari borligini bildik. Bundan tashqari da karrali ildizi mavjud, ya‘ni va ifodada nuqta funksiyaning maksimum nuqtasi bo‗lganligi uchun . Demak, . Shunday qilib, trigonometrik ko‗phad ta ildizlarga ega, bu esa qarama- qarshilikka olib keladi. Lemma isbotlandi. Endi teoremani isbotlaymiz. Teorema shartiga ko‗ra uchun 340 Quyidagicha belgilash kiritamiz Faraz qilaylik, to‗plamda shunday nuqta mavjudki, bu nuqtada trigonometrik ko‗phad maksimumga erishsin, ya‘ni U holda yuqorida isbot qilingan lemmaga asosan tengsizligini qanoatlantiruvchi lar uchun quyidagi tengsizlik o‗rinli: Unda Bu erdan Biroq, uchun ekanliligini e‘tiborga olsak quyidagini olamiz Shunday qilib, bu yerda o‗zgarmas son , - larga bog‗liq emas. Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati: 8. Н.К.Бари. Тригонометрические ряды, Гос.издат.Физ-мат. Москва, 1961, 936 стр. 341 9. С.Н.Бернштейн. О наилучшем приближении непрерывных функций посредством многочленов данной степени, Сообщ. Харьк. Математич. о-ва (2),13 (1912), 49-144 стр. 10. И.И.Привалов. Интеграл Cauchy, Саратов, 1919. 11. Jackson D., A generalized problem in weighted approximation, Trans. Amer. Math. Soc., 26 (1924), 133-154. IKKI OʻZGARUVCHILI FUNKSIYANING UZLUKSIZLIK MODULI Musayev Abdumannon Ochilovich Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali ―Amaliy matematika‖ kafedrasi dotsenti Egamqulov Zafar Andaqulovich Oʻzbekiston Milliy universitetining Jizzax filiali ―Amaliy matematika‖ yoʻnalishi magistranti Annotatsiya: Ushbu maqolada ikki o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizlik moduli tushunchasi kiritilgan va uning ba‘zi xossalari o‘rganilgan. Kalit so‘zlar: Lipshis – Gyolder sinflari, funksiya uzluksizlik moduli, funksiyaning lokal uzluksizlik moduli, nuqtaning – atrofi, ikki karrali maxsus integral. 1. Gyolder shartini qanoatlantiruvchi funksiyalar Odatda Koshi tipidagi integralni integrallash chizig‘ida o‘rganish uchun yordamchi funksiyalar sinfi qaraladi. argumenti haqiqiy yoki kompleks bo‘lgan funksiya berilgan. Ma‘lumki, funksiya uzluksiz bo‘lishi uchun, yetarlicha kichik bo‘lganda ni istalgancha kichik qilib olinadi, boshqacha qilib aytganda argument va funksiyalarning orttirmalari bir vaqtda nolga intiladi. Bu ta‘rifda funksiya orttirmasining argument orttirmasiga nisbatining kichiklik tartibi qaralmagan. Nisbatning tartibi har qanday bo‘lishi mumkin. Biroq, funksiyaning ko‘pgina xossalari funksiya uzluksizlik modulining tartibi bilan bog‘liq. Suning uchun, uzluksiz funksiyalar sinfi uzluksizlik modulining kichiklik tartibiga bog‘liq sinflarga ajratiladi. Uzluksizlik moduli ko‘rsatkichli funksiya bo‘lganda argument orttirmasiga nisbatining tartibi muhum funksiyalar sinfini aniqlaydi. Sunday funksiyalar sinfiga ta‘rif beramiz. Uzluksizlik moduli klassik tushunchalardan bo‘lib, unng asosiy xossalari Valli Puassonning monografiyasida keltirilgan ( ). -