Чизиқли тизимни силлиқмас терминал мезон бўйича оптимал бошқариш масаласи

Аннотация

Ишда чизиқли динамик бошқарув тизимини силлиқмас терминал функционал бўйича оптималлаштириш масаласи қаралади. Шу масалада оптималлик шартлари ўрганилган. Оптимал бошқарув учун зарурий ва етарли шартлар олинган. Калит сўзлар: бошқарув тизими, терминал функционал, оптимал бошқарув, оптималлик шартлари. 331 Ҳозирги замон илмий-амалий тадқиқотларида иқтисодиѐт, техника, экология, тиббиѐт ва бошқа соҳаларда пайдо бўлаѐтган оптималлаштириш масалаларининг аҳамияти ортиб бормоқда. Бу эса оптималлаш масалалари математик назариясининг ривожланишда муҳим омил бўлиб хизмат қилмоқда. Амалиѐтда математик дастурлаш, оптимал бошқарувнинг математик назарияси, жараѐнлар тадқиқоти, қарор қабул қилишнинг математик усуллари кенг татбиқларга эга [1,2,4,5]. Мураккаб динамик тизимларни бошқариш ва рационал қарор қабул қилиш муаммолари билан боғлиқ тадқиқотлар натижасида математикада қавариқ ва силлиқмас тахлил ҳамда силлиқмас оптималлаш усуллари ривожланмоқда [3,5–9]. Динамик тизимлар учун силлиқмас мезонларга кўра бошқариш кўп ҳолларда минимум ѐки максимум типидаги мақсад функционалларини оптималлаш масалалари сифатида қаралади. Бундай типдаги функционаллар, одатда, муайян чеклашларни ҳисобга олиш натижасида пайдо бўлади ва ўз специфик хоссалари билан ажралиб туради. Шу сабабли, силлиқмас оптималлаштириш масалаларини ўрганишда ва бунда мос оптимал бошқарувни қуриш усулларни ишлаб чиқишда мақсад функционалининг хусусиятларини алоҳида эътиборга олиш муҳим аҳамият касб этади [3,6,9]. Масаланинг қўйилиши. Rn– n -ўлчамли векторлар Евклид фазоси , n (x,y)  x y – бу фазодаги ва векторларнинг скаляр i i x(x 1 ,x 2 ,...,x n ) y(y 1 ,y 2 ,..., y n ) i1 кўпайтмаси бўлсин. Бу фазода норма x  (x,x) каби аниқланади. Динамик бошқарув тизимининг қуйидаги чизиқли моделини қараймиз: dx  A(t)xB(t)uq(t),tT [t ,t ], (1) dt 0 1 бунда xRn–тизимнинг холат вектори, uRm – бошқарув вектори, A(t)nn- матрица, B(t)nm-матрица, q(t)Rn . Бу моделда A(t), B(t) матрицалар ва q(t)вектор-функцияни T оралиқда узлуксиз, бошқарув векторининг қийматлар тўплами U эса Rm фазонинг қавариқ компакт тўплами деб ҳисоблаймиз. U(T) деб u(t)U, tT шартни қаноатлантирувчи ўлчовли функциялардан ташкил топган жойиз бошқарувлар тўпламини белгилаймиз. Дифференциал тенгламалар ва оптимал бошқарув назарияси натижаларига кўра, ҳар бир u()U(T) жойиз бошқарув учун (1) тенгламанинг x(t ) x0 0 бошланғич шартни қаноатлантирувчи ягона абсолют узлуксиз x  x(t,x0,u),tT,ечими мавжуд бўлади [1]. Қаралаѐтган (1) чизиқли тизимни бошқариш сифатини ушбу терминал функционал ѐрдамида баҳолаймиз: p g(x(t ,x0,u))max(,x(t ,x0,u)), (2) 1 1 i1 i бунда Z , i 1,p, – Rn нинг берилган компакт тўпламлари. Қаралаѐтган динамик тизим i p учун бошқаришнинг (2) кўринишдаги мезони максимум типидаги g(x)) max(,x) i1 i силлиқмас функция билан берилган. Чизиқли бошқарув тизими x(t,x0,u) траеториясининг чап учини қўзғалувчи деб ҳисоблаймиз, яъни x0 D, D – берилган қавариқ компакт тўплам. Шундай шартда (2) функционални оптималлаштириш масаласини қараймиз. Бу масалани ушбу кўринишда ѐзиш мумкин: 332 max(w,x(t ,x0,u))min,x0 D, uU(T), (3) 1 wW p p бу ерда w z ,W Z . Қўйилган масалада оптимал бошқарув учун зарурий ва i i i1 i1 етарли шартларни ўрганамиз. Силлиқмас функционал учун формула. Дифференциал тенгламалар ва динамик тизимларни бошқарув назарияси [1] натижаларига кўра, ҳар бир u()U(T) учун (1) тенгламанингx(t ) x0 бошланғич шартдаги x(t)  x(t,x0,u) абсолют узлуксиз ечимини 0 t t x(t,x0,u)  F(t,t )x0 F(t,)B()u()dF(t,)q()d (4) 0 t t 0 0 dx Коши формуласи ѐрдамида тасвирлаш мумкин, бу ерда F(t,) билан  A(t)x учун dt фундаментал ечимлар матрицаси белгиланган, яъни F(t,)  A(t)F(t,), F(,) E,T . Қуйидаги белгилашларни киритамиз: z (z ,z ,...,z ), Z Z Z ,...Z , coZ– 1 2 p 1 2 p берилган Z тўпламнинг қавариқ қобиғи. (4) Коши формуласи ва ушбу p p max(z ,x)max(x,z ) max(x,w) i i zZ zcoZ wcoW i1 i i i1 тенгликдан фойдаланиб (2) функционал учун t t 1 1 g(x(t ,x0,u)) max[(F(t ,t )x0,w)(F(t ,t)B(t)u(t),w)dt(F(t ,t)q(t),w)dt] (5) 1 1 0 1 1 wcoW t t 0 0 формулага эга бўламиз. Оптималлик шартлари. Энди қуйидаги функционални қараймиз: t t 1 1 (x0,u,w) (F(t ,t )x0,w)(F(t ,t)B(t)u(t),w)dt(F(t ,t)q(t),w)dt. (6) 1 0 1 1 t t 0 0 (5) формулани ҳисобга олиб, (2) терминал функционални қуйидаги шаклда ѐзиш мумкин: g(x(t ,x0,u)) max(x0,u,w). (7) 1 wcoW Бундан кейин v(x0,u), V  DU(T) белгилашдан фойдаланамиз. Шунга кўра (6) функционални (x0,u,w) (v,w) каби ѐзамиз. Бу функционални минималлаштириш масаласи учун эгар нуқта тушунчаси муҳим. Қавариқ тахлилдан маълумки, агар барча (v,w)V coW учун (v,w)(v,w)(v,w) тенгсизлик ўринли бўлса, (v,w)V coW нуқтага (v,w) функционалнинг эгар нуқтаси деб айтилади [7]. Қавариқ тахлил натижаларга асосан (v,w)V coW нуқта (v,w) функционалнинг эгар нуқтаси бўлиши учун max(v,w)minmax(v,w), min(v,w) max min(v,w), wcoW vV wcoW vV wcoW vV minmax(v,w)  max min(v,w) vV wcoW wcoW vV