Bozor iqtisodiyotida funksiya yordamida iste‘molchi uchun tanlov masalasining yechimi va xossalari

Аннотация

Iste‘mol tanlovi masalasi yoki Iste‘molchining bozordagi ratsional xatti- harakati masalasi iste‘molchining foydalilik funksiyasiga berilgan byudjet cheklovida maksimal qiymat beruvchi (x0, x0) iste‘mol to‘plamini tanlashdan iborat. Har bir tovarga sarf-harajat 1 2 iste‘molchi umumiy daromadining yarmini tashkil etadi va har bir tovarning zaruriy miqdorini topish uchun shu tovarga sarflanadigan mablag‗ni uning narxiga bo‗lish lozimligini o‗rganish to‗g‗risida yuritilgan. Kalit soʻzlar: Iste‘molchi tanlovi, budjet cheklovi, talab funksiyasi, iste‘molchi, Lagranj funksiyasi. Iste‘mol tanlovi masalasi yoki Iste‘molchining bozordagi ratsional xatti-harakati masalasi iste‘molchining foydalilik funksiyasiga berilgan byudjet cheklovida maksimal qiymat beruvchi (x0, x0) iste‘mol to‘plamini tanlashdan iborat. 1 2 Byudjet cheklovi mahsulotlarga pul xarajatlari pul daromadidan oshmasligini, ya‘ni p x  p x  I p p ekanligini anglatadi, bu yerda va lar mos ravishda birinchi va 1 1 2 2 1 2 ikkinchi mahsulotlar bir birligining bozor narxlari, I esa iste‘molchining birinchi va ikkinchi mahsulotlarni sotib olish uchun sarflashga tayyor bo‘lgan daromadi. p , p va I kattaliklar 1 2 berilgan bo‘ladi. Formal ravishda iste‘mol tanlovi masalasi quyidagi ko‘rinishga ega: p x  p x  I , 1 1 2 2 x  0 x  0 , 1 2 shartlarda u(x , x ) (max). 1 2 Iste‘mol tanlovi masalasining yechimi bo‘luvchi (x0, x0) to‘plamni iste‘molchi uchun 1 2 optimal yechim yoki iste‘molchining lokal bozor muvozanati deb atash qabul qilingan. Ushbu qo‘yilishda iste‘mol tanlovi masalasi chiziqli bo‘lmagan programmalash masalasi (x , x ) p x  p x  I bo‘ladi. Biroq, agar biror-bir iste‘mol to‘plamida byudjet 1 2 1 1 2 2 cheklovi qat‘iy tengsizlik ko‘rinishda bajarilsa, u holda biz mahsulotlardan birining iste‘molini va shu tariqa foydalilik funksiyasini ko‘paytirishimiz mumkin. Demak, foydalilik funksiyasiga 326 maksimal qiymat beruvchi (x0, x0) to‘plam byudjet cheklovini tenglikka aylantirishi, ya‘ni 1 2 p x0  p x0  I bo‘lishi kerak. 1 1 2 2 Biz, shuningdek, (x0, x0) optimal nuqtada x  0 , x  0 shartlar u(x , x ) 1 2 1 2 1 2 funksiyaning xossalaridan kelib chiqib avtomatik ravishda bajariladi deb hisoblaymiz. Odatda, bu haqiqatan ham shunday. Ayni bir paytda, agar o‘zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari masala shartiga oshkor holda qo‘shilmasa, u holda ushbu masala matematik jihatdan ancha sodda holga keladi. Demak, iste‘mol tanlovi masalasini p x  p x  I 1 1 2 2 shartda u(x , x ) (max) 1 2 ko‘rinishdagi shartli ekstremumni topish masalasi bilan almashtirish mumkin (chunki bu ikki masalaning (x0, x0) yechimi bir xil). 1 2 Bu shartli ekstremumni topish masalasini yechish uchun Lagranj usulidan foydalanamiz. L(x ,x ,)  u(x ,x ) (p x  p x  I) 1 2 1 2 1 1 2 2 Lagranj funksiyasini yozib, uning x , x ,  o‘zgaruvchilar bo‘yicha birinchi tartibli 1 2 xususiy hosilalarini topamiz va ularni nolga tenglaymiz: L L  u  p  0,  u  p  0, 1 1 2 2 x x 1 2  p x  p x I 0.  1 1 2 2 Hosil qilingan uch noma‘lumli uchta tenglamalar sistemasidan  noma‘lumni x x yo‘qotib, ikki , noma‘lumli 1 2 u p 1  1 , p x  p x  I , 1 1 2 2 u p 2 2 ikkita tenglamalar sistemasini hosil qilamiz va undan iste‘mol tanlovi masalasining (x0, x0) yechimini topamiz. 1 2 Iste‘mol tanlovi masalasi (x0, x0) yechimining x0 va x0 koordinatalari p , p 1 2 1 2 1 2 va I parametrlarning funksiyalaridir: x0  x0(p , p ,I), x0  x0(p , p ,I). 1 1 1 2 2 2 1 2 Hosil qilingan funksiyalar birinchi va ikkinchi mahsulotga talab funksiyalari deb ataladi. Тalab funksiyalarining muhim xossasi narxlar va daromadga nisbatan ularning nolinchi darajadagi bir jinsliligidir, ya‘ni talab funksiyalarining qiymatlari narxlar va daromadning proporsional o‘zgarishiga nisbatan invariantdir: ixtiyoriy  0 son uchun x0(p ,p ,I)  x0(p , p ,I), x0(p ,p ,I)  x0(p , p ,I) 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 o‘rinlidir. Bu barcha narxlar va daromad ayni bir xil martaga o‘zgarsa ham, (birinchi yoki ikkinchi — farqi yo‘q) mahsulotga talab kattaligi o‘zgarmasligini anglatadi. Ikkita tovarli bitta sodda iste‘mol tanlovi masalasini yechaylik. Bu tovarlarning noma‘lum x x p p miqdorlari va ga, ularning bozor narxlari esa mos ravishda va ga teng bo‘lsin. 1 2 1 2 Qaralayotgan masala u(x , x )  x  x (max) (1) 1 2 1 2 327 p x  p x  I , (2) 1 1 2 2 x  0 x  0 , (3) 1 2 ko‘rinishda bo‘ladi. Biz aniqlaganimizdek, optimal nuqtada byudjet cheklovi tenglik ko‘rinishida bajarilishi kerak, binobarin, ikkala tovar o‘ta zarur bo‘lgani uchun (agar ulardan biri yo‘q bo‘lsa, foydalilik nolga teng bo‘ladi) o‘zgaruvchilarning nomanfiyligi shartlari avtomatik ravishda bajariladi. Demak, yechilayotgan matematik programmalash masalasi shartli ekstremumni topishning klassik masalasiga aylanadi. Ekstremumning zaruriy shartlarini yozib (ularga asosan tovarlar limit foydaliliklarining nisbatlari ularning bozor narxlari nisbatlariga teng bo‘lishi kerak, byudjet cheklovi esa tenglik ko‘rinishida bajariladi), x p 2  1 , p x  p x  I