Исследования и приближенные решения некорректных задач для уравнений в частных производных смешанно-составного типа

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Многие научно-прикладные исследования, проводимые на мировом уровне, во многих случаях сводятся к исследованию некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. Основным объектом теории обратных и некорректных задач являются модели прикладных исследований в области геофизических наблюдений, газовой динамики, распространения акустических волн и др. Так как для некорректных краевых задач дифференциальных уравнений смешанно-составного типа исследования на условную корректность и построения приближённого решения нужной степени не сформированы, для этих некорректных задач развития исследовании остается одним из важных задач. В годы независимости в нашей стране особое внимание было уделено актуальным направлениям дифференциальных уравнений, которые имеют практическое применение в фундаментальных науках, а также исследованиям различных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных смешанно-составного типа. В результате были получены значительные результаты в исследовании обратных и некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных и их приближенное решение. Проведение научных исследований на международном уровне по важным направлениям математики, прикладной математики, физики выделено как основная задача фундаментальных исследований1. Развитие теорий дифференциальных уравнений в частных производных, теорий обратных и некорректных задач, и теорий принятия решений играют важную роль в исполнении постановления. На сегодняшний день в мире проведение исследований на условную корректность, на построение приближённого решения, нахождения погрешности между точным и приближённым решениями некорректных краевых задач для уравнений в частных производных смешанно-составного типа высокого порядка связанные с прикладными проблемами, приобретают большое значение. В этой связи: определение априорный оценки решения, нахождение множества корректности, доказательство теорем единственности и условной устойчивости, построение приближённых решений методами регуляризации и квази-обращений, нахождение оценки нормы разности между точными и приближёнными решениями в соответствующем пространстве, вывод формулы вычисления параметра регуляризации, составление алгоритма и реализация программы вычисления точных и приближённых решений с соответствующими начальными данными считаются целевыми научными исследованиями. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года, №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года и №-УГТ-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан» от 8 февраля 2017 года а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования являются установлению условной корректности и нахождения приближенных решений на множестве корректности некорректных задач для дифференциальных уравнений в частных производных смешанного и составного, а также смешанно-составного типов высокого порядка. Научная новизна исследования состоит в следующем: получены априорные оценки решения некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных смешанного, составного и смешанно-составного типов высокого порядков; определены множества корректности некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных смешанного, составного и смешанно-составного типов высокого порядков, а также доказаны теоремы единственности и условной устойчивости; построены приближенные решения, определены оценки норм разности между точными и приближенными решениями в соответствующих пространствах, выведены формулы вычисления параметров регуляризации; реализованы программы в среде Visual C# выводящие численные и графические результаты точного и приближенного решения на основе вычисляющих алгоритмов. Заключение Диссертационная работа посвящена исследованию условной корректности и построению приближенного решения, близкого в норме рассматриваемого пространства к точному решению на множестве корректности краевых задач дифференциального уравнения в частных производных составного, смешанного и смешанно-составного типов. Основными результатами исследования являются: 1. Априорные оценки решений и установление условной корректности краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных составного, смешанного и смешанно-составного типов. 2. Доказаны теоремы единственности и условной устойчивости для решений некорректных краевых задач дифференциальных уравнений составного, смешанного и смешанно-составного типа. 3. Изучена спектральная задача, соответствующая уравнению смешанного типа, и найдена формула для вычисления собственных функций и собственных чисел. 4. Приближенные решения построены в виде последовательностей и соответственно определена норма разности, которая означает близость между точным и приближенным решениями некорректных краевых задач для дифференциальных уравнений составного, смешанного и смешанносоставного типов. 5. Найдены множества условной корректности для некорректных задач. 6. Определены параметры регуляризации и выведены их формулы расчета для построения приближенного решения. 7. Реализовано программное обеспечение, которое вычисляет точные и приближенные решения в соответствии с исходными данными на основе численного алгоритма вычислений в численном и графическом виде.