Способы решения краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Множество научно-практических исследований, проводимые в мировом масштабе, показывают актуальность исследования краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка. Первоначально, итальянскими учеными вместо классического уравнения диффузии был предложен новая модель - уравнение диффузии дробного порядка, которое послужило основой создания новых математических моделей многих процессов в областях физики, биологии, электрохимии. Дифференциальное и интегральное исчисления дробного порядка возникли в процессе нахождения эффективных способов моделирования таких процессов. Сложность уравнений, связанных с такими моделями, и отсутствие разработанных в достаточной мере аналитических и числовых методов, развитие исследований, связанных с такими уравнениями, является одним из приоритетных направлений. В годы независимости в нашей стране усилилось внимание к актуальным научным направлениям, имеющим прикладное значение, в частности, учеными нашей страны особое внимание уделено исследованию и поиску эффективных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных второго и высокого порядков, а также уравнений смешанного типа. В этом направлении, в том числе при исследовании прямых и обратных задач для уравнений в частных производных достигаются весомые результаты. На основе Стратегии Действий по развитию Республики Узбекистан имеет большое значение внедрение полученных результатов по научным исследованиям в области математики для улучшения эффективности в сфере экономики. В настоящее время изучение свойств операторов дробного порядка, исследование краевых задач для уравнений в частных производных второго и высокого порядков, а также внедрение полученных результатов на практику играют важную роль. В связи с этим осуществление целевых научных исследований является одной из важных задач, в том числе научные исследования по следующим направлениям: исследование краевых задач для уравнений в частных производных дробного порядка; определение условий однозначной разрешимости обратных задач идентификации функции источника для уравнений в частных производных с операторами дробного порядка; изучение свойств операторов интегро - дифференцирования дробного порядка и применение этих операторов в решении краевых задач для уравнения в частных производных. Проводимые научные исследования по вышеуказанным направлениям обосновывают актуальность темы данной диссертации. Эта диссертация, в определенной степени, служит осуществлению задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан №-ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство» от 15 июля 2008 года и №-ПП-2789 «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности» от 17 февраля 2017 года, а также в других нормативно-правовых актах по данной деятельности. Целью исследования являются решение прямых и обратных задач для уравнения в частных производных с операторами дробного интегродифференцирования, изучение свойств интегро - дифференциальных операторов и их применение для решения неклассических задач для эллиптических уравнений. Научная новизна исследования заключается в следующем: доказана однозначная разрешимость нелокальных задач для уравнений в частных производных четвертого порядка с операторами дробного интегродифференцирования; впервые изучена базисность корневых функций спектральных задач, соответствующих задачам типа Самарского-Ионкина; установлены необходимые условия однозначной разрешимости обратных задач идентификации функции источника для уравнений в частных производных с операторами дробного порядка; доказана регулярная разрешимость задач для смешанного уравнения дробного порядка с интегральными условиями сопряжения; изучены свойства операторов интегро-дифференцирования дробного порядка типа Адамара, Адамара-Маршо и применены к решению краевых задач для уравнения эллиптического типа; разработан способ решения краевых задач, а также задач типа Бицадзе-Самарского в классе гармонических и гладких функций для уравнений эллиптического типа с обобщенными граничными операторами дробного порядка. Заключение Диссертационная работа посвящена изучению свойств интегро-дифференциальных операторов дробного порядка и применению их к вопросам разрешимости краевых задач для уравнений в частных производных. В заключение можно сделать следующие выводы по результатам исследований: 1. Для параболического уравнения четвертого порядка с операторами дробного дифференцирования в смысле Капуто и Джарбашяна-Нерсесяна сформулированы и исследованы нелокальные задачи типа Самарского-Ионкина, доказана базисность Рисса систем корневых функций соответствующих задач. Полученные результаты могут послужить основой для дальнейшего изучения различных свойств аналогичных краевых задач и их спектров для широкого класса дифференциальных уравнений в частных производных. 2. Установлена корректность ряда прямых и обратных задач с интегральными условиями склеивания для смешанных парабологиперболических уравнений дробного порядка. Полученные результаты обобщают ранее исследованные задачи для смешанных уравнений целого порядка и могут быть применены как при дальнейшем развитии теории смешанных уравнений второго и высокого порядков с операторами дробного интегро-дифференцирования, так и при исследовании конкретных прикладных задач, приводящихся к таким уравнениям. 3. В классе гармонических функций и в классах Гёльдера изучены свойства интегро-дифференциальных операторов дробного порядка и их применение к решению краевых задач. Полученные результаты могут послужить основой для введения и изучения новых операторов дробного порядка и их обобщений в классе гармонических функций и в классах Гёльдера, а также их применению к решению краевых задач. 4. Методы и результаты диссертационной работы могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах, как дробное исчисление, дифференциальные и интегральные уравнения, уравнения математической физики, а разделы диссертации могут составить содержание специальных курсов для студентов, обучающихся по специальности «Математика»