Предельные меры Гиббса для моделей с конечным множеством значений спина

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Решения проблем, возникающих в результате научно-прикладных исследований при изучении термодинамических свойств физических и биологических систем, проводимых на мировом уровне, в основном приводятся к задачам теории мер Гиббса. Американским ученым Дж.У.Гиббсом для систем, находящихся в тепловом равновесии с окружающей средой, в которой поддерживается постоянная температура, установлено каноническое гиббсовское распределение. Изучение гиббсовских распределений играет важную роль в таких направлениях как физика, биология, теория обслуживания, теория информаций, а также теория фазовых переходов для различных моделей статистической механики. В нашей стране в годы независимости большое внимание уделяется направлениям, имеющим прикладное значение. В частности, особое внимание было уделено развитию теории мер Гиббса, являющейся основным объектом изучения задач статистической физики и механики. Каждой мере Гиббса сопоставляется одна фаза физической системы, и если мера Гиббса неединственна, то существует фазовый переход, т.е. физическая система меняет свое состояние. Значительные результаты были достигнуты по построению мер Гиббса и анализу структуры множества таких мер для решетчатых систем с жесткими ограничениями на их конфигурации, а также для моделей с конечным или счетным числом спиновых значений. В настоящее время в мире важную роль играет построение трансляционно-инвариантных, периодических, слабо периодических и других мер Гиббса для моделей физики и статистической механики. В связи с этим, реализация целевых научных исследований, в следующих направлениях является одной из важных задач: существование меры Гиббса для данного гамильтониана; анализ структуры множества всех таких мер; определение критических значений параметров, обеспечивающих фазовый переход. Научные исследования, проводимые в вышеупомянутых направлениях, подтверждают актуальность темы диссертации. Исследования данной диссертации в определенной степени служат решению задач, указанных в Указах Президента Республики Узбекистан № УП-916 от 15 июля 2008 года «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий производства» и № УП-2789 от 17 февраля 2017 года «О мерах по дальнейшему совершенствованию деятельности Академии наук, организации, управления и финансирования научно-исследовательской деятельности», а также в других нормативноправовых актах, относящихся к данной области деятельности. Целью исследования является определение существования предельных мер Гиббса для моделей Поттса, Hard-Core (НС) и SOS с конечным числом состояний на дереве Кэли. Научная новизна исследования состоит в следующем: для модели жесткой сердцевины с двумя состояниями определены условия единственности слабо периодической меры Гиббса с периодом два; определена локализация трансляционно-инвариантных мер Гиббса для моделей Поттса и SOS на дереве Кэли порядка к > 2; доказано, что если Н - нормальный делитель конечного индекса в группе Gk, то для модели Поттса все /7-периодические меры Гиббса являются либо G*2)-периодическими, либо трансляционно-инвариантными; на дереве Кэли порядка два для антиферромагнитной модели Поттса (J<0) в случае нулевого внешнего поля на некоторых инвариантах доказано, что все периодические меры Гиббса являются трансляционноинвариантными; для ферромагнитной модели Поттса (J>0) с тремя состояниями показано трансляционно-инвариантность всех GJ2’-периодических мер Гиббса на дереве Кэли порядка к > 2; показано существование 6{2‘ -периодических (не трансляционноинвариантных) мер Гиббса для модели Поттса с тремя состояниями и с ненулевым внешним полем на одном из инвариантов на дереве Кэли порядка к = 2; дана нижняя граница количества G}2>-периодических мер Гиббса для модели Поттса с q -состояниями (3 < q < к +1) на дереве Кэли порядка к > 3; дано точное количество G{2} -периодических мер Гиббса для модели Поттса с тремя состояниями на одном из инвариантов на дереве Кэли порядка к > 3. Заключение Диссертационная работа посвящена изучению задачи существования предельных мер Гиббса для моделей Поттса, НС и SOS на дереве Кэли. 1. Определены условия единственности слабо периодических мер Гиббса с периодом два для НС-модели с двумя состояниями. 2. Найдена локализация трансляционно-инвариантных мер Гиббса для модели Поттса с q -состояниями и модели SOS с т = 2,3,4,5,6 состояниями. 3. Для антиферромагнитной модели Поттса (J <0) доказана трансляционно-инвариантность всех периодических мер Гиббса в случае нулевого внешнего поля на некоторых инвариантах на дереве Кэли порядка два. 4. Показана трансляционно-инвариантность всех Gj2)-периодических мер Гиббса для ферромагнитной модели Поттса (J >0) с тремя состояниями на дереве Кэли порядка к > 1. 5. Доказано существование GJ2' -периодических (не трансляционноинвариантных) мер Гиббса для модели Поттса с тремя состояниями и с ненулевым внешним полем на одном из инвариантов на дереве Кэли порядка к = 2. 6. Определена нижняя граница количества G]2'-периодических мер Гиббса для модели Поттса с q-состояниями (3<(?<Л + 1) на дереве Кэли порядка к > 3. Результаты, полученные в процессе исследования, рекомендуется применять в определении термодинамических свойств физических систем, в решении задач комбинаторики и телекоммуникации.