Математическое моделирование процессов теплопроводности в среде с двойной нелинейностью

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. В мировых масштабах науки наблюдается большой интерес к изучению нелинейных моделей самых разнообразных явлений и процессов, встречающихся в механике, физике, технологии, биофизике, биологии, экологии, медицине и других областях, описывающимися нелинейными дифференциальными уравнениями. Основу таких моделей в частности составляют дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа. При исследованиях свойств решений и численных решений, поставленных задач Коши и граничных задач, применяются приближенные методы. Здесь основное место занимают вырождающиеся уравнения и системы параболического типа, которые моделируют разные нелинейные процессы, встречающиеся в естествознании. В годы независимости нашей республики исследованию и практическому применению нелинейных моделей различных физических, биологических, технологических и химических, которые являются актуальными направлениями прикладной математики. С этой точки зрения ведутся научно-исследовательские работы над рядом математических моделей, которые выражает процессы теплопроводности, фильтрации, биологической популяции, которые имеет практическое применение в сфере энергетики, медицины, нефти и газа. В настоящее время широкое распространение в мире математических моделей процессов, получили описываемые вырождающимися квазилинейными параболическими уравнениями, это объясняется тем, что они выводятся из фундаментальных законов сохранения. Поэтому возможна ситуация, когда два физических процесса, не имеющих на первый взгляд ничего общего описываются одним и тем же нелинейным уравнением диффузии, только с различными числовыми параметрами. В настоящее время выполнение научных исследований по изучению и практическому применению таких уравнений являются одним из важных задач, которые ведутся в нижеследующих направлениях: разработка методов изучения качественных свойств нелинейных математических моделей; нахождение точных оценок решений в различных пространствах; определение нелинейных эффектов; разработка экономичных численных схем; создание комплекса программ для изучения математических моделей нелинейных процессов и контроль динамики процесса по времени. Научные исследования, которые ведутся во всех вышеперечисленных направлениях, объясняют актуальность темы данной диссертации. Данное диссертационное исследование в определенной степени служит выполнению задач, предусмотренных Постановлениями Президента Республики Узбекистан №ПП-1730 от 21 марта 2012 года «О мерах по дальнейшему внедрению и развитию современных информационнокоммуникационных технологий», №ПП-1442 от 15 декабря 2010 года «О приоритетах развития промышленности Республики Узбекистан в 2011-2015 годах» и Постановлением Кабинета Министров Республики Узбекистан №24 от 1 февраля 2012 года «О мерах по созданию условий для дальнейшего развития компьтеризации и информационно коммуникационных технологий на местах», а также в других нормативно-правовых документах, принятых в данной сфере. Целью исследования является численное и аналитическое исследование качественных свойств нелинейных математических моделей, описывающиеся квазилинейными параболическими уравнениями и систем, процессов распространения тепла в однородной и в среде с переменной плотностью с источником и нелокальным граничным условием, разработка комплекса программ для численного исследования нелинейных краевых задач. Научная новизна заключается в следующем: определены условия глобальной разрешимости и неразрешимости по времени решений нелинейной модели теплопроводности в неоднородной среде без источника с нелокальным граничным условием; определено влияние неоднородности среды при условиях глобальной разрешимости и неразрешимости в целом по времени решений нелинейных задач. найдено значение критической экспоненты типа Фуджита для модели, описывающей задачу Неймана в случае медленной и быстрой диффузии; найдено значение критической экспоненты глобального существования решения для модели, описывающейся вторым типом краевой задачи в случае медленной и быстрой диффузии; построены верхние и нижние оценки обобщенных решений задачи медленно-диффузной теплопроводности в однородной и неоднородной среде; получены главные члены асимптотики различных автомодельных решений задачи двойной и тройной нелинейной теплопроводности путем применения метода эталонных уравнений; предложены вычислительные схемы для изучения качественных свойств нелинейных математических моделей теплопроводности с переменной плотностью, разработаны алгоритмы, комплексы программ в среде Visual Studio 2012 (С#) и визуализированы решения нелинейных задач. ЗАКЛЮЧЕНИЕ На основе проведенных исследований по докторской диссертации «Математическое моделирование процессов теплопроводности в среде с двойной нелинейностью» представлены следующие выводы: 1. Необходимо подчеркнуть, что найдены условия глобальной разрешимости и неразрешимости в целом по времени решений нелинейной математической модели распространения тепла, неньютоновской политропической фильтрации, диффузии, описывающиеся нелинейными параболическими уравнениями с нелокальным граничным условием и с переменной плотностью. 2. Следует отметить, что найдены критические экспоненты типа Фуджита для нелокальной задачи распространения тепла в неоднородной среде. 3. Следует подчеркнуть, что получены верхние и нижние оценки глобальных и неограниченных обобщенных решений для нелинейной математической модели теплопроводности с переменной плотностью и с нелокальным граничным условием. 4. Можно установить свойства конечной скорости распространения возмущений и пространственной локализации решения для математической модели нелинейной политропической фильтрации с двойной нелинейностью и с переменной плотностью в случае медленной диффузии. 5. Следует подчеркнуть, что достигнуты доказанные свойства бесконечной скорости распространения возмущений для математической модели нелинейной политропической фильтрации с двойной нелинейностью и с переменной плотностью в случае быстрой диффузии. 6. Следует отметить, что доказано асимптотическое поведение обобщенных решений с компактным носителем задачи Коши для вырождающегося уравнения теплопроводности в неоднородной среде с источником и с переменной плотностью. 7. Следует отметить, что доказано условие глобальной разрешимости и неразрешимости в целом по времени решений и асимптотическое представление решений систем уравнений для задачи нелинейной политропической фильтрации с нелокальным граничным условием и с переменной плотностью. 8. Необходимо подчеркнуть, что предложены численные схемы для исследования качественных нелинейных свойств математических моделей теплопроводности с переменной плотностью и с нелокальным граничным условием. 9. Следует подчеркнуть, что разработаны вычислительные схемы, алгоритмы и программные комплексы в среде Visual Studio 2012 (С#) для численного решения нелинейных задач теплопроводности и визуализации.