Группа изометрий слоеных многообразий

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. В связи с бурным развитием научно-технического прогресса в мире, требуются разработки новых методов фундаментальных исследований и внедрения полученных результатов в практику. Исходя из потребностей практики, на стыке дифференциальных уравнений и дифференциальной топологии французскими учеными созданы фундаментальные основы теории слоеных многообразий. Доказаны устойчивость компактных слоений и инвариантность предельных множеств слоев. Учеными США и России исследованы качественная теория слоений, в которой исследуются геометрические и топологические свойства слоеных многообразий. Вместе с этим применение теории слоеных многообразий на практике остается одной из важнейших задач геометрии. После провозглашения независимости в нашей стране внимание к актуальным направлениям в области естественных и точных наук в ощущаемой степени увеличилось, в частности особое внимание уделяется приложению методов и результатов этой теории к теориям оптимального управления и динамических систем. В этой области получены достаточные условия стабильности для управляемых систем, доказана неотрицательность секционных кривизн слоев слоения, порожденных римановыми субмсрсия-ми в пространствах с неотрицательными кривизнами и по исследованию геометрии векторных полей получены весомые результаты. На сегодняшний день исследования, проводимые в мире по геометрии орбит семейства векторных полей на многообразии, являются важными для исследований, связанных с теориями динамических полисистем и оптимальных управлений. В этой области важной задачей являются широкие приложения целевых научных исследований по теории слоений для определении структуры фазового пространства динамических полисистем: применения методов теории слоений к теории динамических полисистем, оптимального управления; к различным задачам в других областях; исследование геометрии слоений, порожденных римановыми субмсрсиями; исследование геометрии римановых слоений на поверхностях с неотрицательной секционной кривизной. Выполняемые научные исследования в вышеприведенных направлениях обосновывают актуальность темы настоящей диссертации. Исследования данной диссертации в определенной степени служат решению задач, обозначенных в постановлениях Президента Республики Узбекистан ПП-436 от 7 августа 2006 года «О мерах по совершенствованию координации и управления развитием науки и технологии», а также ПП-2204 от 8 июля 2014 года «О мерах по дальнейшей оптимизации структуры Академии Наук Республики Узбекистан и укреплению интеграции академической науки и высшего образования Республики» и в других нормативно-правовых актах, относящихся к данной области деятельности. Целью исследования являются исследования геометрии и топологии слоеных многообразий, структуры группы изометрий слоеных многообразий и геометрии слоеных многообразий постоянной секционной кривизны, а также применение полученных результатов к исследованию множества достижимости систем управления и в доказательстве непрерывной зависимости множества достижимости от начальной точки. Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем: доказано, что группа гомеоморфизмов любого гладкого многообразия является топологической группой в компактно-открытой топологии; доказано, что группа изометрий слоеного многообразия является топологической группой в компактно-открытой топологии; доказано, что если последовательность изометрий слоеных многообразий сходятся по одной точке на каждом слое, то из этой последовательности можно извлечь сходящую подпоследовательность к изометрию слоеного многообразия в F - компактно-открытой топологии; показано, что если слоение порождено римановой субмсрсией, тогда слои этого слоения являются многообразиями постоянной Гауссовой кривизны; доказано, что предел геодезических слоеного многообразия, является геодезической на предельном слое слоения; доказано, существование слоения, для которого существует элемент группы изометрий слоеного многообразия, не являющийся элементом группы изометрий; доказана компактность множества достижимости, и непрерывность многозначного отображения «точка - множество достижимости» систем векторных полей специального вида; доказана компактность замыкания множества достижимости за время нс превосходящее фиксированное время, и непрерывная зависимость множества достижимости от времени для векторных полей определенного класса; найдены условия для того, чтобы множества достижимости (множества управляемости) совпадали с плоскостями фиксированной размерности для линейных систем. ЗАКЛЮЧЕНИЕ В диссертации исследуются группы изометрий слоеных римановых многообразий. Для решения поставленных задач изучены топологические и геометрические свойства слоеных многообразий, исследована геометрия римановых субмсрсий. Введено новое понятие, F- компактно - открытой топологии, которая зависит от слоения. Исследованы группы изометрий слоеных многообразий в компактно-открытой топологии и в F - компактнооткрытой топологии. Основные результаты исследования состоят в следующем. 1) установлено, что группа гомеоморфизмов любого многообразия является топологической группой в компактно-открытой топологии; 2) доказано, что группа изометрий слоеного многообразия является топологической группой в компактно-открытой топологии; 3) установлено если последовательность изометрий слоеных многообразий сходятся по одной точке на каждом слое, то из этой последовательности можно извлечь сходящую подпоследовательность к изометрию слоеного многообразия в F - компактно-открытой топологии; 4) доказано, что риманова субмсрсия порождает слоеное многообразие постоянной Гауссовой кривизны; 5) установлено предел геодезических линий слоеного многообразия, является геодезической линией на предельном слое слоения; 6) показано, что чстырехмсрнос многообразия Sol4 нельзя погрузить в пятимерное евклидово пространство; 7) доказано существование слоения, для которого существует элемент группы изометрий слоеного многообразия, не являющийся элементом группы изометрий; 8) доказано, что множества достижимости системы векторных полей определенного класса является компактным, и оно непрерывно зависит от времени; 9) найдено достаточное условие для линейных систем управления, при выполнении которого каждое множество достижимости (множество управляемости) является плоскостью фиксированной размерности. Автор приносит свою глубокую признательность научному консультанту профессору Нарманову Абдигаппару Якубовичу за постановку проблем, ценные советы и полезные консультации в обсуждении и поддержку.