Йордановы операторные алгебры бэровского типа и приложения к теории измеримых операторов

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. На международном уровне одним из приоритетных направлений исследований является доказательство аналогов теорем из теории ассоциативных алгебр для Йордановых алгебр и детальное изучение свойств, присущих исключительным Йордановым алгебрам. Вскоре после ввода и изучения ассоциативных алгебр начала развиваться теория альтернативных, лиевых и Йордановых алгебр. Позже лиевы и Йордановы алгебры начались систематически изучаться с точки зрения функционального анализа. Надо отметить, что самый близкий к классу С*-алгебр, хорошо изученный класс -это класс алгебр Капланского (А\¥*-алгебр), т.е. С*-алгебр, удовлетворяющих условию Бэра. В теории Йордановых операторных алгебр дело обстоит иначе, изучение класса Йордановых аналогов алгебр Капланского остается важной нерешённой задачей. Развитие теории Йордановых операторных алгебр связано с узбекской научной школой функционального анализа. Учёными нашей страны получен ряд результатов по упорядоченным инволютивным и Йордановым алгебрам. В частности, для Йордановых операторных алгебр, имеющих предсопряженное пространство, построены Йордановы алгебры измеримых и локально измеримых операторов и установлен ряд их свойств. Исследование Йордановых банаховых алгебр бэровского типа, потсроение их классификации в рамках Йордановых банаховых алгебр является важной задачей. Кроме того, для выяснения алгебраических свойств этих Йордановых алгебр измеримых операторов и, поскольку класс Йордановых банаховых алгебр, удовлетворяющих йордановому аналогу условия Бэра, является широким классом, построение и исследование Йордановых алгебр абстрактных измеримых операторов являются важными проблемами. Исходя из анализа существующих работ, необходимо отметить, что исследование упомянутого класса Йордановых алгебр далеко от завершения и решения важных проблем, касающихся этого класса, требуют совершенно новых подходов. Исследование данной диссертации в определенной степени служит для решения задач, обозначенных в Постановлениях Президента Республики Узбекистан от 15 июля 2008 года ПП-916 «О дополнительных мерах по стимулированию внедрения инновационных проектов и технологий в производство», а также Кабинета Министров от 4 марта 2002 года ПКМ-77 «Меры по совершенствованию организации научно-исследовательской деятельности» и в других нормативно-правовых актах, относящихся данной деятельности. Целью исследования является описание бэровских Йордановых банаховых алгебр и их обертывающих банаховых алгебр, а также построение бэровских Йордановых алгебр абстрактных измеримых операторов для этих алгебр. Научная новизна исследования заключается в следующем: впервые найдены алгебраические условия, эквивалентные определению бэровской Йордановой банаховой алгебры; установлено, что множество проекторов бэровской Йордановой банаховой алгебры образует полную ортомодулярную решетку, и самосопряженная часть всякой вещественной или комплексной алгебры Капланского является бэровской Йордановой банаховой алгеброй; классифицированы бэровские Йордановы банаховы алгебры по известным типам; получено полное описание бэровских Йордановых банаховых алгебр, являющихся факторами и содержащих минимальные проекторы; установлено, что обертывающая С*-алгебра всякой слабозамкнутой обратимой Йордановой операторной алгебры является алгеброй фон Неймана. описаны все продолжения меры на проекторах слабозамкнутой обратимой Йордановой операторной алгебры до меры на проекторах её обертывающей алгебры фон Неймана. установлено, что при некоторых условиях обертывающая С*-алгебра самосопряженной части вещественной алгебры Капланского является комплексной алгеброй Капланского. установлено, что Йордановы алгебры абстрактных измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к бэровской Йордановой банаховой алгебре являются бэровскими Йордановыми алгебрами. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 1. Найдены несколько алгебраических условий типа Бэра, использующих Йордановы аннуляторы, эквивалентных определению AJW-алгебры (бэровской Йордановой банаховой алгебры). 2. Показано, что всякая AJW-алгебра раскладывается в прямую сумму AJW-алгебр типа I, 1Х, In, п - кардинальное число, Пь Пх и III, и каждый AJW-фактор имеет один из указанных типов In, II], Пх и III. 3. Установлено совпадение классов AJW-факторов типа I и JBW-факторов типа I и сводимость классификации AJW-факторов типа I к классификацию JBW-факторов типа I. 4. Построен бесконечный вариант пирсовского разложения по проекторам Йордановой и инволютивной алгебр, позволившие доказать структурные теоремы для JW-алгебр типа 1П. 5. Доказано, что обертывающая С*-алгебра обратимой JW-алгебры является алгеброй фон Неймана. Дано достаточно простое и прямое доказательство этого утверждения. 6. Дана характеризация всех продолжений меры на обратимой JW-алгебре до меры на обертывающей алгебре фон Неймана данной JW-алгебры. 7. Доказано, что для обертывающей С*-алгебры С*(1^а) самосопряженной части Rsa вещественной AW*-anre6pw R такой, что RniR={0} и R+iR является AW*^re6pon, выполнено условие Бэра, т.е. C*(Rsa) является AW*^re6pofl. 8. Доказано, что Йордановы алгебры измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к AJW-алгебре удовлетворяют йордановому аналогу условия Бэра. 9. Обосновано, что Йордановы алгебры измеримых и локально измеримых операторов, присоединенных к AJW-алгебре являются отличными от AJW-алгебр Йордановыми алгебрами, удовлетворяющими йордановому аналогу условия Бэра. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы, представленные в диссертации, могут быть использованы при исследованиях других классов Йордановых алгебр и супералгебр, в изучении алгебр с различными условиями типа Бэра, в теории комплексных функций нескольких и бесконечного числа переменных, а также при изучении различных процессов в квантовой механике и теоретической физике.