ТАСОДИФИЙ ИНДЕКСЛИ ТАСОДИФИЙ ҚЎШИЛУВЧИЛАР УЧУН ҚОЛДИҚ ҲАДНИНГ БАҲОСИ ҲАҚИДА

Аннотация

Ушбу мақолада ўзаро боғлиқ бўлмаган ва ҳар хил таксимланган тасодифий миқдорлар учун лимит теоремалар ҳамда уларнинг қолдиқ ҳадларини баҳолаш қаралади. Бундаги қолдиқ ҳад иккита йиғиндидан иборат бўлиб: биринчи қўшилувчи асосий тасодифий миқдорнинг характеристикасига боғлиқ, иккинчи қўшилувчи эса тасодифий индекснинг математик кутилмаси ва дисперсиясига боғлиқ бўлади. Калит сўзлар: тасодифий миқдорлар, лимит теоремалари, Вальд таксимоти, математик таҳлил, биномиал қонун, тақсимот функцияси. Кириш: Эҳтимоллар назарияси фани материядаги мавжуд нарсаларнинг формалари ва улар орасидаги миқдорий муносабатларни ўрганувчи фандир. Кўп сонли ҳодисаларнинг табиатини тўлароқ очиш ва хулосалар чиқариш учун маълумотларни математик таҳлил қилиш талаб қилинади. Эҳтимоллар назариясининг лимит теоремалари, хусусан тасодифий индексли лимит теоремалар ва уларнинг қолдиқ ҳадларнинг баҳолаш тадбиқий аҳамиятга эгадир. Айтайлик, “ ” - хақиқий сонлар ўқидаги интервал, L () – унинг узунлиги бўлсин. n n n С ,С ,... – доимий сонлар бўлиб, n ва  уларга боғлиқ эмас. 1 2 n  ( j 1,2,...) F (x) j - ўзаро боғлиқ бўлмаган, ҳар хил тақсимланган, j - тақсимот функциясига эга бўлган тасодифий миқдорлар кетма-кетлиги бўлсин, ҳамда 2 M a , D v ,  j  j j j 4 A k k  1 a j , V 2k  k  1 v 2j Қуйидаги йиғиндини қараймиз: v 1 2 . . . v (1) Бундаги v=v() ҳар бир >0 учун ,,… тасодифий миқдорларга боғлиқ бўлмаган ва 1 2 мусбат қийматларни қабул қилувчи тасодифий миқдорлир. Вальд таксимотига бўйсунади. Унинг сонли характеристикалари қуйидагича: P ( v k ) p k , M v k 1 k p k , 2 2 2 Dv  Mv |Mv|  Қуйидаги белгиларни киритамиз: 5 N j v 1 a j , M N ; D N 2     V v 2 j v 1 v 2j ; M V v 2 w 2 ; D V v 2 21    [1] да қуйидаги леммаларни исботи берилган, шулардан фойдаланамиз: Лемма 1. M v M ( 1 2 . . . v ) k 1 ( 1 2 . . . k ) p k Лемма 2. 2 2 2 v 1 ; Тасодифий миқдорлар бир хил тақсимланган бўлса, белгилашлар қуйидагича бўлади: M 1 a 1 ; D 1 v 2 ва M v a ; D v 20 a v 2 a 2 2 эканлиги осон келиб чиқади. Б.Розеннинг [2] илмий ишида 1 , 2 , . . . , n , . . .    тасодифий миқдорлар кетма-кетлиги бир хил тақсимланган бўлиб, n 1 2 . . . n (2) йиғинди учун P ( n n )    эҳтимоллик баҳоланади. Бунда қуйидагича баҳолар олинган: 1. Агар L n (  n )  n p , 0  p  1 2 бўлса, у ҳолда C P{  } 1 n n 1p n2 , L ( )C 2. Агар n n 2 бўлса, у ҳолда C P{  } 3 n n n бўлади. Б.Розеннинг натижасини С.Х.Сирожиддинов, Г.Оразовлар [3] да бир хил тақсимланган тасодифий индексли қўшилувчилар учун исбот этишган. Юқоридаги каби интервални  , ва унинг узунлигини L T 2 каби белгилаймиз. Маълумки, ихтиёрий  - параметр учун 6 0 ( )    (3) бажарилади. Масалан, v – тақсимот Пуассон ёки биномиал қонун бўйича тақсимланган тасодифий миқдор бўлса, (3) муносабат бажарилади. 2 Теорема 1. Агар ва L T 2 2 2 2 p , 0 p 1 2 бўлса, у ҳолда   C P T  3  v  2   12p 2 бўлади. Теорема 2. Агар L T 2 2 C 4  бўлса,у ҳолда P v T 2 2 C 5  бўлади. 1-теореманинг исботи. Тўла эҳтимоллик формуласига асосан: P v T 2 2 k 1 P k T 2 2 p k   P T p  k 2 k |V 2  2 | 2 2 k 2 2k 2 2 2 P k T 2 2 p k J 1 J 2 (4) И.Л.Чебишев теоремасига асосан J   P T p  1 k 2 k 2 2 2 2  k 2   2 4 C  P|V 2  2 |  1  6  k 2   2  12p (5) J   P T p  2 k 2 k 2 2 2 2  k 2 7 12 2 V 2k 32 2 P k T 2 2 p k 12 2 m V a2k x 32 2 P k T 2 2 12 2 V 2k 32 2 p k ; Б.Розен [2] теоремасини ҳисобга олиб, қуйидаги натижага эга бўламиз: 12 2 m V a2k x 32 2 P k T 2 2 p 2  max  1 2  2 V k 2  2 3 2 V k (6) 2 C 2 2 p C 1 72 p (5) ва (6) ларни (4) га қўйсак, 1-теорема исботланади. 2-теоремани исботи қийин эмас, исботлашда соҳани иккитага E V 2k 2 2 2  . E V 2k 2 2 2  ажратамиз ҳамда ҳар бири алоҳида-алоҳида баҳоланади. Агар тасодифий миқдорлар бир хил тақсимланган бўлса, 1 ва 2 теоремалардан С.Х.Сирожиддинов, Г.Оразовларнинг теоремалари хусусий хол сифатида келиб чиқади. Агар v – тасодифий миқдор учун P{v=k}=1 десак, яъни “тасодифий қўшилувчи” эмас, “тайинланган қўшилувчи” бўлса, Б.Розенни [2] иши хусусий ҳол сифатида келиб чиқади.