Антье, мантисса и ее приложения

Аннотация

Ключевые слова: В данной статье приводятся теоретические и антье, практические материалы и задачи на тему антье и мантисса, мантиссу в основном по теории чисел и алгебре. последовательность, Рекомендованы методы решения типовых конкурсных и функция в множестве R, определённый интеграл, олимпиадных задач при помощи свойств антье и мантиссы. каноническое разложение. 1 Senior Lecturer in Mathematics, Urgеnch State University. E-mail: bobojonov.hamid1972@gmail.com 2 PhD, Associate Professor, Oriental University. Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 04 (2023) / ISSN 2181-1415 Ant’e (fran. entiyer) termini 1798-yilda Lejandr tomonidan taklif qilingan bo‘lib, qariyib ikki yuz yildan beri ishlatib kelinmoqda. Yangi tushuncha uning miyasiga n murakkab sonining kanonik yoyilmasida p tub sonining necha marta uchrashini hisoblash zaruriyatidan kelib qolgan. x sonining ant’yesini [ x ] kabi belgilashni 1808-yilda Gauss taklif qilgan. Mantissa termini haqida adabiyotlarda diqqatga molik tarixiy ma’lumotlar deyarli uchramaydi. Oldingi paytlarda ant’e1 va mantissa2 (sonning butun va kasr qism) larga doir masalalar juda tor doiradagi olimpiada masalalari hisoblanar edi. Oxirgi paytlarda esa ayrim chet davlatlar oliy o‘quv yurtlariga kirish imtihonlarida shu turdagi oson masalalar taklif qilinayotgan bo‘lsa, qiyinlik darajasi yuqori bo‘lgan masalalar milliy va xalqaro olimpiadalarda o‘quvchilarga taklif qilana boshladi. Xo‘sh ant’e va mantissaga doir masalalar nimasi bilan qiziq? Agar ant’e va mantissani funksiya sifatida qaraydigan bo‘lsak, bu funksiyalar uzluksiz emas, aniqrog‘i, bo‘lak-bo‘lak uzluksizdir.Bunday funksiyalarning mavjudligi esa odatiy yechish usullaridan tubdan farq qiladi. “Ant’e va mantissa” mavzusining o‘ziga xosligi va shu mavzuga doir masalalarning murakkabligi, aniqrog‘i, qiyinchiligi shundaki, o‘quvchining bu yo‘nalishda yetarli darajada mashq qilishmaganlida ko‘rinadi. Bu tipdagi masalalarning ko‘pchiligining yechimi juda qisqa mantiqiy tahlilga asoslangan bo‘ladi. Bulardan tashqari ant’e va mantissa shunday xossalarga egaki, o‘quvchidan bir qancha amallarni bajarishni talab qiladi.Shunday o‘ziga xosliklarga qaramasdan ko‘pgina xossarni masalarni yechish davomida ham hosil qilish mumkin bo‘ladi. Maqolada ant’e va mantissaga doir tanlab olingan masalalar fanning sonlar nazariyasi va algebra bo‘limiga xos bo‘lib, chet mamlakatlar milliy olimpiadalarida tavsiya qilingan ayrim masalalar ham berilgan. Qiziquvchilar uchun maqolada masalalarning to‘liq va asoslangan yechimlari berilgan. 1 fran. entiyer – butun 2 lat. mantissa – qo‘shimcha 1. Ta‘riflar 1.1. Ant’yening ta’rifi. x soning ning ant’esi (yoki butun qismi) [ x ] deb x dan katta bo‘magan butun songa aytiladi, [ x ] = max{ nєZ | n ≤ x}. 1.2. Mantissaning ta’rifi. x soning mantissasi ( kasr qismi ) deb x sonidan x sononing ant’yesi ayirmasiga aytiladi, { x }= x – [ x ] 1.3. Haqiqiy sonning ant’ye va mantissalarga yoyilmasi. Har qanday haqiqiy x sonni butun va kasr qismlar yig‘indisi shaklida yagona usulda yozish mumkin x = [ x ] + { x } 1.4. Misollar. [ 1.5 ] = 1 , { 1.5 } = 0,5 [ -0,6 ] = -1, { – 0,6 } = 0,(3) 279 Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 04 (2023) / ISSN 2181-1415 [ π ] = 3 , [ π ][ e ] + [ e ] = [ e ][ π ] + [ π ] 1.5. Ant’ye funksiyasining xossalari va grafigi. 1) D ( [x] ) = R; 2) E ( [x]) = Z; 3) O‘smaydigan funksiya; 4) juftlik, toqlik, davriylik xossalariga ega emas; 5) oraliqda doimiy funksiya; 6) Grafigi birinchi va to‘rtinchi choraklarda joylashgan va cheksiz davom etuvchi zinasimon shaklga ega ( 1-rasmga qarang). 1.6. Mantissa funksiyasining xossalari va grafigi. 1) D ( { x } ) = R; 2) E ( { x } ) = [ 0 ; 1 ); 3) funksiya oraliqda-chiziqli, oraliqda-o‘suvchi [ n; n+1 ), n є Z; 4) juftlik, toqlik xossalariga ega emas; 5) davri 1 ga teng davriy funksiya; 6) Grafigi birinchi va ikkinchi choraklarda joylashgan va cheksiz davom etuvchi 450 ga o‘g‘gan devor shakliga ega ( 2-rasmga qarang). 280 Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 04 (2023) / ISSN 2181-1415 2. Asosiy xossalar va tasdiqlar 2.1 Ant’ye va mantissaning eng sodda xossalari. 0 ≤ { x } < 1, ( 2.1 ) [ x ] ≤ x < [ x ] +1 , ( 2.2 ) x -1 < [ x] ≤ x , ( 2.3 ) [ x+n ] = [ x] + n, ( 2.4 ) { x+n} = { x } . ( 2.5 ) Yuqoridagi xossalarni tushinish qiyin emas. (2.4) va (2.5) xossalarni grafik yordamida anglab olish mumkin. 2.2. Qarama-qarshi sonlar ant’ye va mantissalarining yig‘indisi. Qarama-qarshi butun sonlar ant’yelariniong yig‘indisi nol ekanligi ravshan. Endi x ∉ Z bo‘lsin. U holda (2.3)ga ko‘ra x – 1 < [ x ] ≤ x, – x – 1 < [ – x ] < – x. Tengsizliklarni qo‘shsak -2 < [ x ] + [ – x ] < 0 yoki [ x ] + [ – x ] = -1 Shunday qilib qarama-qarshi sonlar ant’yelarini qo‘shishning qoidasi quyidagicha ekan: 0 ,agar x ∈ Z, [x] + [−x] = { } ( 2.6 ) −1 ,agar x ∉ Z. Qarama-qarshi sonlar mantissalarining yig‘indisi uchun quyidagi qoidani kel