Нелокальная задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом

Аннотация

Калит сўзлар: Соҳа ичида бузиладиган гиперболик тенгламалар учун Сингулар коэффициент, Бицадзе-Самарский шарти ўрганилади, изланаётган гиперболик тенгламалар, ечимнинг характеристикадаги қийматларини соҳа ичида соҳа ичида бузиладиган, жойлашган иккита махсус эгри чизиқдаги қийматлар Бицадзе-Самарский шартлари. билан боғлайди. Нелокальная задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения с сингулярным коэффициентом АННОТАЦИЯ Ключевые слова: Исследуется задача для гиперболических уравнений, Сингулярный вырождающихся внутри области, с условием Бицадзе- коэффициент, Самарского, связывающим значения искомого решения на гиперболических 1PHD, Lecturer, Termez State University, Termez, Uzbekistan Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 04 (2022) / ISSN 2181-1415 уравнений, характеристике со значениями на двух специальных вырождающихся внутри кривых, лежащих внутри области. области, условия Бицадзе- Самарский. 1. Постановка задачи Г. Рассмотрим уравнение 127 − y m u x x + u y y m 2 y u y = 0 , m  0 . (1) Пуст  конечная односвязная область плоскости независимых переменных x , y , ограниченная характеристиками А B С C 1 1 : x  m 2 + 2 y m + 2 2 =  1 , y  0 , АС  2 m+2 2 : x  (−y) 2 = 1, y 0. BC m+ 2 2 Задача . Найти в области регулярное решение и ( х , у ) = u 1 2 ( ( x x , , у у ) ) , , ( ( x x , , у у ) ) 1 2 = = у у 0 0 , . уравнения (1) из класса C (  1 2 )  C 2 (  \ A B ) удовлетворяющее краевым условиям u j [ ( j ) ( x ) ] 1 u j [ (k 1 j ) ( x ) ] 2 u j [ ( j k 2 ) ( x ) ]      = + + 1 2 1 u j ( p 1 ( x ) , 0 ) 1 2 1 u j ( p 2 ( x ) , 0 ) j ( x ) , x I A B    + − +   = (2) здес, j = 1 соответствует области 1 , а j = 2 области 2 , p (x)=a +bx, p (x)=a +b x, 1 1 1 2 2 2 где a i = k i 2 + 1 , b i = k k i i + 1 1 , i = 1 , 2 и условиям сопряжения lim и (х, у) =clim и (х, у), хI, 1 2 у→+0 у→−0 (3) − m u − m u lim y 2 1 =(x)lim(−y) 2 2 +(x), xI y→+0 y y→−0 y (4) где ( j ) ( х ) ( (k 1 j ) ( х ) , ( j k 2 ) ( х ) )    Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 04 (2022) / ISSN 2181-1415 128 ( j ) ( x 0 ) 1 2 x 0 ( i ) j 1 ( m 2 ) 4 ( 1 x 0 ) m 2 2 ,  (k 1 j ) ( x 0 ) 1 1 k = 1 k x 1 0 + ( + i ) j 1 ( m 2 ( 2 k ) 1 ( + 1 1 ) x 0 ) m 2 2 , +  = + + + − − + ( j k 2 ) ( x 0 ) 1 1 k 2 k x 2 0 ( i ) j 1 ( m 2 ( 2 k ) 2 ( 1 1 ) x 0 ) m 2 2  = + + + − − + аффикс точки пересечения характеристики В С j (кривой (т+2)/2 х+ 2k /(m+2) у =1,  j  лежащей внутри области j ) с характеристикой, M(x ,0)I; выходящей из точки 0 с = c o n s t ; , =const; 1 2 j ( x ) , ( х ) , ( х )    заданные функции из класса C 2 ( )  C 3 ( I ) , причем ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 0    =  =  = (5ъ) ( x ) c 0 , k 1 k 2 1 , (j n ) ( 1 ) 0 , ( n ) ( 1 ) 0 , n 0 , 1 , 2 .    −    = = = 2. Исследование задачи Г. Теорема. Задача Г при выполнении условий (5ъ) 1 2 1   +  , (6ъ) где k b 1 1 b k b 2 k 2 1 , k 1 , 2 = + − = однозначно разрешима. Доказательство. 1. Рассмотрим краевое условие (2) в области 1 , видоизмененным задачи Коши [1] удовлетворяющее условиям: u 1 ( x , 0 ) 1 ( x ) , x I ; ly i m 0 y m 2 u y 1 1 ( x ) , x I   + =  → + =  (5) дается формулой Даламбера [2]:  2   2   x− (−y)(m+2)/2 + x+ (−y)(m+2)/2  m+2   m+2  u(x,y) = − 2 (−y)(m+2)/2 1  2t  −  x+ (−y)(m+2)/2 dt, m+2  m+2  −1 (6) Отсюда легко вычислит, что [23] 1 1 x u (1)(x) = (x) +(1)− (t)dt 1  2 1 1 2 1 −1 , (7) a+bx 1 1 1 1 u (1)(x) = (a +b x) +(x)−  (t)dt 1 k 1  2 1 1 1 1 2 1 x , (8) Жамият ва инновациялар – Общество и инновации – Society and innovations Special Issue – 04 (2022) / ISSN 2181-1415 a +b x 1 1 2 2 u (1)(x) = (a +b x) +(x)−  (t)dt 1 k 2  2 1 2 2 1 2 1 x . (9) Теперь выражения (7)-(9), подставляя в краевые условия (2) получим 129 1 ( x ) 1 2 1 x 1 ( t ) d t 1 1 ( x ) 2 1 ( x ) 1 a 1 b1 x x 1 ( t ) d t 2 a 2 b x 2 x 1 ( t ) d t 1 ( x )          −  = + − +  + +  + . (10) Соотношение (10) является первым функциональным соотношением между неизвестными функциями 1 ( x )  (x) и 1 , привнесенным на ос y = 0 из области 1 . 2. Рассмотрим краевое условие (2) в области 1, удовлетворяющее видоизмененным условиям Коши [2]: u 2 ( x , 0 ) 2 ( x ) , x I ; ly i m 0 y m 2 u y 2 2 ( x ) , x I   + =  → + =  (11) даеця формулой Даламбера получим u 2 ( 2 ) ( x ) 1 2 2 ( x ) 2 ( 1 )  1 2 x 1 2 ( t ) d t       = + − − , (12) u 2 ( 2 k 1 ) ( x ) 1 2 2 ( a 1 b 1 x ) 2 ( x )  1 2 a 1 b x 1 x 2 ( t ) d t       = + + − + , (13) a +b x 1 1 2 2 u (2)(x) =  (a +b x)+ (x)−   (t)dt 2  k 2  2 2 2 2 2 2 2 x . (14) Выражения (12)-(14), подставляя в краевые условия (2) получим 2 ( x ) 1 2 1 x 2 ( t ) d t 1 2 ( x ) 2 2 ( x ) 1 a 1 b1 x x 2 ( t ) d t 2 a 2 b x 2 x 2 ( t ) d t 2 ( x )          −  = + − +  + +  + . (15) Соотношение (15) является вторым функциональным соотношением между неизвестными функциями 2 ( x )   (x) и 2 [3], привнесенным