Теория потенциалов на m-субгармонических функциях

Аннотация

Актуальность и востребованность темы диссертации. Классическая теория потенциала строится на основе оператора Лапласа и класса субгармонических функций. Построенная в 80-х годах прошлого века теория плюрипотенциала связана с нелинейным оператором Монжа-Ампера и плюрисубгармоническими функциями. Теория плюрипотенциала достаточно интенсивно развивается и имеет многочисленные приложения в геометрии многообразий, в теории относительности Эйнштейна, в частности, в доказательстве существования метрики Эйнштейна и в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Естественно, возникает потребность изучения своеобразных расширений класса плюрисубгармонических функций и построение теории потенциала для таких расширений является актуальным направлением комплексного анализа. Для построения теории, охватыващей как классическую теорию потенциала, так и теорию плюрипотенциала, ожидалось использование оператора в гессианах, который обобщает как оператор Лапласа, так и нелинейный оператор Монжа-Ампера. Однако, до недавних пор не был известен класс функций, на который опирается ожидаемая теория потенциала. При изучении задачи Дирихле для уравнения в гессианах был введен класс m-субгармонических функций, который оказался подходящим классом построения теории потенциала в классе т-субгармонических функций, играет такую же роль в решении уравнении в гессианах, что и класс плюрисубгармонических функций для уравнения Монжа-Ампера. Поэтому, важное значения имеет дальнейшее глубокое исследование класса m-субгармонических функций, а также класса слабо т-субгармонических функций, в частности, установление потенциально-емкостных свойств этих классов. Актуальность научного направления диссертации характеризуется еще тем, что в диссертации обосновывается теория потенциала, базирующаяся на операторах в гессианах, разрабатывается метод решения задачи Дирихле в классе m-субгармонических и слабо т-субгармонических функций, доказывается т-субгармоничность супремума т-субгармонических функций и (т-1)-субгармоничность сужения т-субгармонических функций на гиперплоскости. Определение субгармонических на комплексных плоскостях слабо m-субгармонических функций, доказательство ряд потенциальноемкостных их свойств, квазинепрерывность m-субгармонических функций, принцип сравнения, непрерывность оператора в гессианах для стандартных аппроксимаций и доказательства других фундаментальных теорем являются важными результатами диссертации. Оценки основной характеристической функции теории Неванлинны, простое описание m-выпуклой оболочки в геометрии Римана, применение теории m-субгармонических функций в установлении критерия плюригармоничности (аналог теоремы Лелона) и в серии применений теорий m-субгармонических и слабо т-субгармонических функций в многомерном комплексном анализе указывают на актульность и востребованность темы диссертации. Целью исследования является построение теории потенциала на т-субгармонических функциях, доказательство потенциальных свойств слабо m-субгармонических функций и продемонстрирование приложений построенной теории потенциала к задачам многомерного комплексного и гармонического анализа. Научная новизна исследования. Диссертационная работа является новым научным направлением. В ней: доказаны m-субгармоничность супремума в классе т-субгар-монических функций и (т-1)-субгармоничность сужения т-субгар-монической функции на комплексную гиперплоскость; дано полное построение теории потенциала, основанное на операторе гессиана, который включает в себя известную классическую и комплексную теорию потенциалов; введены и изучены важные потенциально-емкостные свойства субгармонических на комплексных плоскостях слабо т-субгармонических функций; разработана методика решения задачи Дирихле в классах т-субгармонических и слабо т-субгармонических функций; доказаны квазинепрерывность и принцип сравнения для т-субгармонических функций; в классе т-субгармонических функций доказана непрерывность операторов в гессианах и доказаны также другие фундаментальные теоремы теории потенциала. Заключение Основные результаты исследования состоят в следующем: 1. Дано полное построение теории потенциала, основанное на операторах в гессианах, которая включает в себе классическую и комплексную теорий потенциалов. 2. Доказаны m-субгармоничность супремума в классе т-субгармонических функций и (т-1)-субгармоничность сужения на комплексные гиперплоскости; 3. Введено понятие емкости конденсатора в классе т-субгармонических функций и доказан ряд важных свойств емкости; 4. Доказаны квазинепрерывности, принцип сравнения для т-субгармонических функций; 5. Доказаны сходимости потоков для стандартных аппроксимаций и ряд фундаментальных теорем теории потенциала в классе т-субгармонических функций; 6. Определен класс слабо т-субгармонических функций и доказаны некоторые потенциальные свойства этого класса; 7. Разработана методика применения класса т-субгармонических функций в многомерном комплексном анализе и в теории потенциала. В частности, в теории Неванлинны-для оценки характеристической функции, в выпуклой геометрии-в описании m-выпуклых оболочек, в теории плюригармонических функций - в установлении плюригармоничности функций (аналог теоремы Лелона). В целом, полученные результаты позволяют говорить о достижении целей исследований диссертационной работы. Построенная в диссертации теория потенциала в классе m-субгармонических функций является новым научным направлением, которое имеет важные приложения в теории Неванлинна, в комплексном проективном пространстве, в теории нелинейных эллиптических уравнений и т.п.