ТЕОРЕМЫ О ПОТЕРЕ И ПРОДОЛЖЕНИИ НЕИЗВЕСТНЫХ. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ ИЗ НИХ.

Аннотация

In this article, we . Let I= ⊂k[x_1,x_2,…,x_n ] -ideal. Then the ideal I_l is called a lost ideal of order l of k[x_(l+1),…,x_n]. I_l=I∩k[x_(l+1),…,x_n ]. In other words, I_l are the results of the system of ideal equations f_1=⋯=f_s=0, where they are polynomials x_1,…,x_l independent of the unknowns. Our task is to show that I_l is an ideal of the polynomial ring k[x_(l+1),…,x_n]. This ideal I=I_0 is called a zero lost ideal. Then, by changing the order, we get another lost ideal. Key words: Ideal, basis, lexical sorting. ТЕОРЕМЫ О ПОТЕРЕ И ПРОДОЛЖЕНИИ НЕИЗВЕСТНЫХ. РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ ИЗ НИХ. Аннотация. В этой статье мы . Пусть I= ⊂k[x_1,x_2,…,x_n ] -идеал. Тогда идеал I_l называется потерянным идеалом порядка l из k[x_(l+1),…,x_n]. I_l=I∩k[x_(l+1),…,x_n ].Другими словами, I_l — это результаты системы идеальных уравнений f_1=⋯=f_s=0, где они представляют собой полиномы x_1,…,x_l, независимые от неизвестных. Наша задача — показать, что I_l является идеалом кольца многочленов k[x_(l+1),…,x_n]. Этот идеал I=I_0 называется нулевым потерянным идеалом. Тогда, изменив порядок, мы получим еще один утраченный идеал. Ключевые слова: Идеал, основа, лексическая сортировка. 1-tarif. 𝐼 = ⊂ 𝑘[𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 ] -ideal berilgan bo‘lsin. U holda 𝐼 ideal 1 𝑠 1 2 𝑛 𝑙 𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ] ning 𝑙 tartibgacha yo’qotilgan ideali deyiladi. 𝑙+1 𝑛 𝐼 = 𝐼 ∩𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ]. 𝑙 𝑙+1 𝑛 Boshqacha aytganda, 𝐼 ideal 𝑓 = ⋯ = 𝑓 = 0, tenglamalar sistemasini natijalaridir, 𝑙 1 𝑠 bunda ular 𝑥 ,…,𝑥 , noma’lumlarga bo‘liq bo’lmagan polinomlar. Bizning vazifa 𝐼 ni 1 𝑙 𝑙 𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ] polinomial halqaning idealini tashkil qilishini ko‘rsatish.Ushbu 𝐼 = 𝐼 , ideal 𝑙+1 𝑛 0 nolinchi yo’qotilgan ideali deyiladi. Keyinchalik tartiblashni o‘zgartirib boshqa bir yo’qotilgan idealga ega bo‘lamiz. 1 06 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ 1-teorema. (yo’qotish teoremasi).𝐼 ⊂ 𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ]-ideal va 𝐺 –uning 𝑥 > 𝑥 > ⋯ > 𝑥 , 1 𝑠 1 2 𝑛 lex-tartiblash bo‘yicha Gryobner bazisi bo‘lsin.U holda ixtiyoriy 0 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛 ,larda ushbu 𝐺 = 𝐺 ∩𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ] 𝑙 𝑙+1 𝑛 to‘plam chetlashtirilgan 𝐼 idealning Gryobner bazisini tashkil qiladi. 𝑙 Chiqarib tashlash teoremasi ko‘rsatadiki lex-tartiblash faqat birinchi nomalumni emas balki birinchi ikkita,birinch uchta va h.k nomalumlarni nomalumlar safidan chiqarib tashlaydi. Endi davom ettirish qadamini ko‘rib chiqamiz. 𝐼 ⊂ 𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ] ,ideal berilgan 1 𝑛 bo‘lsin.Ushbu ko‘pxillikni qarab chiqamiz 𝑉(𝐼) = {(𝑎 ,…,𝑎 ) ∈ 𝑘𝑛:𝑓(𝑎 ,…,𝑎 ) = 0 для 1 𝑛 1 𝑛 всех𝑓 𝜖 𝐼}. Qanday qilib uning barcha nuqtalarini toppish mumkin? Yechimni topishning asosiy g’oyasi shundan iboratki sistema yechimining bitta kordinatasi aniqlanadi va boshqalarini topishda undan foydalanamiz. Endi 1 ≤ 𝑙 ≤ 𝑛lar uchun 𝐼 ,idealni qarab chiqamizUshbu (𝑎 ,…,𝑎 ) ∈ 𝑙 𝑙+1 𝑙 𝑉(𝐼 ),nuqtaga asosiy sistemaning qism yechimi deyiladi. 𝑙 Agarda biz (𝑎 ,…,𝑎 ) ning to‘la yechimini topmoqchi bo‘lsak, biz asosiy sistemani 𝑙+1 𝑛 to‘la yechimini topmoqchi bo‘lsak unda bitadan kordinatalarni topib boraverishimiz kerak bo‘ladi.𝐼 = 〈𝑔 ,…,𝑔 〉 ⊂ 𝑘[𝑥 ,…,𝑥 ] bo‘lsin. Biz ushbu 𝑔 (𝑥 ,𝑎 ,…,𝑎 ) = ⋯ = 𝑙−1 1 𝑟 1 𝑛 1 𝑙 𝑙+1 𝑛 𝑔 (𝑥 ,𝑎 ,…,𝑎 ) = 0 𝑟 𝑙 𝑙+1 𝑛 tenglamalar sistemasini yechimini topishimiz kerak bo‘ladi. Ko‘plab holatlarda birinchi 𝑥 ,o‘zgaruvchini chetlashtirishimizga to‘g’ri keladi. Biz shuni bilmoqchimizki (𝑎 ,…,𝑎 ) ∈ 1 2 𝑛 𝑉(𝐼 ) ekanligidan, (𝑎 ,𝑎 ,…,𝑎 ) ∈ 𝑉(𝐼) ekanligi kelib chiqadimi ?.Keyingi teorema bu savolga 1 1 2 𝑛 javob bera oladi. 2-teorema. (Davom ettirish teoremasi). Bizga 𝐼 = 〈𝑓 ,…,𝑓〉 ⊂ 𝐶[𝑥 ,𝑥 ,…,𝑥 ], ideal 1 𝑠 1 2 𝑛 berilgan bo‘lsin. 𝐼 - ideal 𝐼 idealning birinchi yo’qotilgan ideali bo’lsin. Har bir 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑠 lar 1 uchun 𝑓 ni quyidagicha ifodalashimiz mumkin. 𝑓 = 𝑖 𝑖 𝑁 𝑔 (𝑥 ,…,𝑥 ) 𝑖 + har bir hadi, 𝑥 ga bog’liq va uning darajasi < 𝑁, bunda 𝑁 ≥ 0, 𝑔 ∈ 𝑖 2 𝑛 𝑥1 1 𝑖 𝑖 𝑖 𝐶[𝑥 ,…,𝑥 ] – nolmas polinom. Quyidagi qism yechimini qaraymiz (𝑎 ,…,𝑎 ) ∈ 𝑉(𝐼 ). U holda 2 𝑛 2 𝑛 1 (𝑎 ,…,𝑎 ) ∉ 𝑉(𝑔 ,…,𝑔 ), bo‘lsa 𝑎 ∈ 𝐶,bo‘ladi bundan esa (𝑎 ,𝑎 ,…,𝑎 ) ∈ 𝑉(𝐼), ekanligi 2 𝑛 1 𝑠 1 1 2 𝑛 kelib chiqadi. Noma’lumlarni mohiyatini tushinish uchun quyidagi misolni qaraymiz. 1-misol. Ushbu sistemani yechish talab qilingan bo’lsin, 𝑥2 −𝑦+𝑧 = 0, { 𝑥+𝑦2 = 0, (1) 𝑥2 +𝑦 = 0 bu sistemadan quyidagi idealga ega bo‘lamiz, 𝐼 = (𝑥2 −𝑦+𝑧,𝑥+𝑦2,𝑥2 +𝑦). (2) Bizning vazifamiz V(𝑥2 −𝑦+𝑧,𝑥+𝑦2,𝑥2 +𝑦) ,ko’pxillikni topishdan iborat. Endi bu idealning Gryobner bazisini hisoblaymiz, bunda grlex-tartiblashdan foydalanamiz. 𝑔 = 4𝑥 +𝑧2, 𝑔 = 2𝑦−𝑧, 𝑔 = 𝑧4 +8𝑧, 1 2 3 1 07 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 5 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Natijada (3) bazislarga ega bo’lamiz. Bu yerda (1) va (3) sistemalar bir xil yechimlarga ega bo’ladi. (3) da 𝑔 bazisga etibor bersak u faqat z nomalumga bog’liq bo‘ldi.Uni quyidagicha 3 soddalashtirishimiz munkin, 𝑔 = 𝑧4 +8𝑧 = 𝑧(𝑧3 +8) = 𝑧(𝑧+2)(𝑧2 −2𝑧+4) 3 oxirgi tenglikdan 𝑔 = 0 tenglamani yechib z ning barcha qiymatlarini topamiz, 𝑔 polinom 3 3 jami to‘rtta