Интегрирование нелинейных эволюционных уравнений с самосогласованным источником

Аннотация

Объекты исследования: нелинейные эволюционные уравнения с самосогласованным источником. Цель работы: вывод эволюции данных рассеяния спектральной задачи связанной с нелинейными эволюционными уравнениями с самосогласованным источником. Метод исследования: методы математической физики, дифференциальных уравнений, теории функций комплексных переменных, спектральной теории дифференциальных и разносных операторов. Полученные результаты и их новизна: основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем: 1) выведен закон изменения по t спектральных характеристик оператора Штурма-Лиувилля с потенциалом являющимся решением общего уравнения Кортевега - де Фриза с источником в классе «быстроубывающих» функций; 2) определена эволюция данных рассеяния для оператора Штурма-Лиувилля, потенциал которого является решением общего уравнения Кортевега - де Фриза в классе ступенчатых функций; 3) изучена интегрируемость общего уравнения КдФ с источником при начальных данных типа «ступеньки»; 4) метод обратной задачи рассеяния применен к решению различных нелинейных эволюционных уравнений с самосогласованным источником, в случае простых собственных значений соответствующей несамосопряженной спектральной задачи; 5) показана возможность применения метода обратной задачи рассеяния для интегрирования уравнения sin-Гордон с самосогласованным источником, в случае кратных собственных значений оператора Дирака; 6) решение цепочки Тоды с самосогласованным источником выражено в рамках метода обратной задачи рассеяния для дискретного оператора Штурма-Лиувилля. Практическая значимость: Работа носит теоретический характер. Степень внедрения и экономическая эффективность: на основе полученных результатов читается спецкурс для магистрантов. Область применения: Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в математической физике при интегрировании нелинейных эволюционных уравнений.