Giperbolik tenglamalarda kuzatish masalasi matematik modeli tadqiqi

Аннотация

Maqolada tabiatdagi jarayonlar: issiqlik tarqalishi, sterjen tebranishi, tor tebranishi, magnit maydon impulsi, mayatnik tebranishi va hakazolar. Tabiiy protsess o’lchangani uchun uni modellashtirish natijasida hosil bo’lgan masalalar taqribiy yechiladi. Bu erda yechim protsessni kuzatish (bir nuqtada o’lchash) bilan hisoblashga harakat qildik. Bunda masala uchun qo’shma operator tuzilib, nokorrekt masala (boshlang’ich qiymati yo’q holat) shartli korrekt xolatga o’tkaziladi. Kalit so‘zlar. Adamar tipi, datchik, bazis funksiya, Fur’e usuli, Logranj ko’paytuvchilari usuli, Kichik kvadratlar minimum, Ritsa usuli, Koshi sharti. Fizik jarayonni to’liq o’rganish uchun jarayonni tasvirlayotgan differensial tenglamadan tashqari, uning dastlabki holati (boshlang’ich shartlarni) va sohaning chegaralaridagi holatni (chegaraviy shartlarni) berish zarur. Agar boshlang’ich va chegaraviy shartlar berilmagan bo’lsa, differensial tenglamaning yechimlari yagona bo’lmaydi. Biz quyidagi tor tebranishi tenglamasini qaraylik: 2 2 𝜕 𝑈(𝑥,𝑡) 𝜕 𝑈(𝑥,𝑡) = 𝜕𝑡2 𝜕𝑥2 Bu jarayonda tebranish boshida tor chetki nuqtalari siljishi φ(x) va jiljish tezligi ψ(x) funksiyalarda aniqlansin, u holda yuqoridagi tenglama uchun boshlang’ich shartlar quyidagi ko’rinishda yoziladi: U(x,0)=φ(x); U(x,0)= ψ(x); t>0 t Bu yerda φ(x) va ψ(x) funksiyalar uzluksiz 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 𝑡 > 0 da aniqlangan berilgan funksiyalar. Bu shart Koshi sharti deb yuritiladi. 72 Chegaraviy shartlar quyidagi turlari bo’ladi: Torning ikkala uchi ham mahkamlangan va siljimaydigan. Buning analitik ko’rinishi: U(0,t)=0; U(1,t)=0; Torning ikkala uchlari ham elastik bo’lsa, ya’ni μ (t) va μ (t) qonuniyat bilan siljiydigan 1 2 bo’lsa: U(0,t)=μ (t); U(1,t)= μ (t); t>0. 1 2 Torning ikkala uchlari ham mustahkamlangan bo’lib, biror kuch ta’sirida siljiydi: U (0,t)=v (t); U (1,t)= v (t); t>0. x 1 x 2 Torning ikkala uchlari ham elastik mahkamlangan bo’lib, uchlarning siljishi ma’lum qonuniyatga bo’ysunadi: U (0,t)=h [U(0,t)- θ (t)]; U (1,t)=h [U(1,t)- θ (t)];; t>0. x 1 1 x 2 2 I. Masalaning qo’yilishi. Quyidagi matematik fizika masalasini qaraylik. Masala – 1. 𝜕2𝑈(𝑥,𝑡) 𝜕2𝑈(𝑥,𝑡) = ; (1) tenglamani, 𝜕𝑡2 𝜕𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑡;̅ UϵL (П); Uϵ𝐶22(П). 2 𝑡𝑥 𝛼𝑈(0,𝑡) = 𝑓 (𝑡); 𝛽𝑈′(1,𝑡) = 𝑓 (𝑡); tϵ[0; 𝑡̅] (2) 1 𝑥 2 shartlarni qanoatlantiruvchi echimi topilsin. (1) – (2)-masala Adamar tipidagi nokorrekt masala. Unga boshlang’ich 𝑈(0,𝑡) yoki U(𝑥,𝑡̅) shartlar yetishmaydi. Bu qiymatlarni hamma vaqt ham o’lchash yo’li bilan aniqlab bo’lmaydi. Ammo funksiya aniqlanish oralig’ida x=1 nuqtada datchik o’rnatish mumkin. Bu kuzatiluvchi qiymat 𝑈(1,𝑡) = 𝑦(𝑡) (3) bo’lsin. Masala – 2. 1-masala shartlari va (3) ni qanoatlantiruvchi 𝑈(𝑥,0) funksiya topilsin. Masala – 3. 2-masala shartlarida 1 𝛼 = ∫ 𝑈(𝑥,0)∗𝑞(𝑥)𝑑𝑥, (4) 0 proektsiya topilsin. Bunda q(x)ϵL (0;1), q(x)ϵ𝐶1(0;1) - bazis funksiya. 2 𝑥 II. Masalani yechish usuli. (4) ifodani 𝛼 = ∫ [𝐾(𝑡)𝑈(1;𝑡)+𝜑(𝑡)𝑓 (𝑡)]𝑑𝑥, (5) 0 2 ko’rinishida axtariladi. Bunda 𝐾(𝑡), 𝜑(𝑡) funksiyalar hozircha no’malum funksiyalar. (1) – (3)-sistema uchun shartli korrekt masala tuzilib, u taqribiy yechiladi. Bunda o’zgaruvchilarni ajratish – Fur’e usuli, Logranj ko’paytuvchilari usuli, Kichik kvadratlar minimumi va Ritsa usullaridan foydalaniladi. Unda 𝐾(𝑡) va 𝜑(𝑡), hamda q(x) funksiyalar shartli korrekt masala yechimi sifatida qatnashadi. III. Olingan natijalar. 1. Shartli korrekt masala yechimlari 𝐾(𝑡), 𝜑(𝑡), q(x) dan foydalanib, (5) ifoda topiladi. 2. Undan foydalanib 1-masala U(x;0) Koshi sharti tiklanadi. 3. (1) – (5) dan foydalanib 1-masala yechiladi. Foydalanilgan adabiyotlar 1. Исраилов И., Кирин Н.Э., Рустамов М.Д. Задачи наблюдения за процессом нагрева. Вопросы вычислительной и прикладной математики. Т., 1988, вып. 84, -166с. 2. Рустамов М., Нуралиев Т. Задача наблюдения в уравнении гиперболического типа //Информатика и инженерные технологии. – 2023. – Т. 1. – №. 1. – С. 132-133. 73 3. Alimardanovich N. T. CHIZIQSIZ TENGLAMALARNI TAQRIBIY YECHISH //International Journal of Contemporary Scientific and Technical Research. – 2022. – С. 323- 327. 4. Нуралиев Т. Issiqlik o ‘tkazuvchanlik tenglamasi uchun ayirmali sxemalar //Информатика и инженерные технологии. – 2023. – Т. 1. – №. 2. – С. 193-197. 5. Alimardanovich N. T. et al. ODDIY ITERATSION USUL //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 20. – №. 1. – С. 160-168. 6. Alimardanovich N. T. et al. ZEYDEL USULI //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 20. – №. 1. – С. 169-176. 7. Alimardanovich N. T. et al. CHIZIQLI ALGEBRAIK TENGLAMALAR TIZIMINI ECHISH. ITERATSION USULLAR //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 20. – №. 1. – С. 153-159. 8. Alimardanovich N. T., Abduqodirovich N. N. PLASTINKA UCHUN IKKI O’LCHOVLI ISSIQLIK O’TKAZUVCHANLIK TENGLAMASINI SONLI YECHISH //ОБРАЗОВАНИЕ НАУКА И ИННОВАЦИОННЫЕ ИДЕИ В МИРЕ. – 2023. – Т. 15. – №. 3. – С. 141-143. SEYSMIK-PORTLASH TO‘LQINLARINING SEYSMIK AGRESSIV XAVF DARAJASINI ENERGETIK BAHOLASH. Sagdiev X M.T.O‘rozboev nomidagi mexanika va inshoo