Задача управляе мости ансамбля траекторий для математической модели в виде дифференциального включения с запаздыванием

Аннотация

Рассматриваемая в работе математическая модель возникает в проблемах управления динамическими системами в условиях неточности внешних сил воздействия и запаздывания информации. Исследумая модель представляется в виде математического объекта, заданного классом управляемых дифференциальных включения с запаздывающим аргументом. Изучена задача управляемости ансамбля траекторий для этой модели динамических систем. Получены необходимые и достаточные условия управляемости. Ключевые слова: математическая модель, динамическая система, неточность информации, дифференциальное включение, фактор запаздывания, ансамбль траекторий, условия управляемости. В настоящее время, с развитием методов математического моделирования и современной вычислительной техники существенно расширилась область приложений математической теории оптимальных процессов в прикладных задачах техники и экономики. В результате возросло значение математических моделей сложных систем управления и методы их исследования. Поэтому, представляет большой интерес исследования по моделям, представляемых дифференциальными включениями и их обобщениями [1–5]. Широкий класс таких типов моделей возникают в проблемах управления в условиях неточности начальных данных и внешних сил воздействия, запаздывания информации, информационных помех и др. Рассмотрим объект управления, поведение которого описывается дифференциальным включением с запаздыванием вида xF  t,x  t  ,x  t h  ,u  , (1) где xRn, F  t, y,u   Rn, uRm, t t . Под допустимым управлением для системы 0 (1) будем понимать произвольную измеримую ограниченную m-вектор-функцию u  u  t  , определенную на некотором отрезке T   t ,t  времени. Пусть: U  L  – множество всех 0 1 T допустимых управлений u t ,tT , со значениями из замкнутого шара S {vRm : v  L}; H u,0 – множество абсолютно непрерывных траекторий L T x  x t , tT , дифференциального включения (1), соответствующих управлению uU  L  и начальному условию xt0t, tT , где 0Сn(T ), T 0 0 T   t h,t  . Рассмотрим множество X  t,u,0    Rn: x  t  ,x    H  u,0  , 0 0 0 T T tT   t ,t  . Многозначное отображение t  X  t,u,0  tT , есть ансамбль траекторий 0 1 T системы (1). Определение. Будем говорить, что ансамбль траекторий дифференциального включения (1) управляемым из начального состояния 0Сn(T ) в подвижное 0 множество Y Y(t) (кратко, система (1) 0,Y -управляемая), если существует 63 допустимое управление uU  L  , T   t ,t  , такое, что соответствующий ансамбль T 0 1 траекторий удовлетворяет граничному условию X t ,u,0 Y(t ). T 1 1 Относительно правой части F t,x,y,u дифференциального включения (1) будем налагать следующие условия: а) для любых  t,x,y,u  T Rn Rn Rm множество F  t,x,y,u  – выпуклый компакт из Rn; б) многозначное отображение  t,x,y,u   F  t,x,y,u  измеримо по tT при   x,y,u  Rn Rn Rm и непрерывно по  x,y,u  при почти всех tT ; в) многозначное отображение x,y  F t,x,y,u удовлетворяет условию Липшица: h(F(t,x,y,u),F(t,x,y,u))l(t,u)[ xx  y y], x,x,y,yRn, где функция l(t,u) такая, что l(t,u(t))–суммируема на T  t ,t при любом допустимом 0 1 управлении u  u  t  , tT   t ,t  ; г) существуют функции g  t,u  , i 1,2,, такие что 0 1 i g t,u t , i 1,2,, суммируемые на T функции при любых допустимых управлениях i u  u  t  , tT   t ,t  T T , и справедливо 0 1    g t,u x  y  g t,u,Ft,x,y,u, t,x,y,uT Rn Rn Rm; 1 2 д) опорная функция C F t,x,y,u ,  max , :F t,x,y,u вогнута по x,y при почти всех tT и всех  u,  Rm Rn. При выполнении этих условий будет имеет место свойство компактности и выпуклости множества X t,u,0 , а также непрерывная зависимость X t,u,0 от T T (t,u)[6]. Далее, терминальное множество Y Y(t) предполагается замкнутым и выпуклым при каждом t t . Справедлива 0 Теорема 1[7]. Если система (1) 0,Y – управляема, то существует такой отрезок времени T [t ,t ], что имеет место неравенство 0 1 sup inf conc  C  X  t ,u,0  ,  C  Y(t ),   0. (2) 1 uUTL  T 1 1 Теперь будем изучать условия управляемости ансамбля траекторий для случая, когда правая часть дифференциального включения (1) имеет линейную структуру, т.е. рассмотрим следующую модель: xA  t  x(t) A  t  x  t h  b  t,u  t  , (3) 1 где A  t  и A  t  – квадратные матрицы размера nn, b  t,u  –непустое подмножество Rn. 1 На правую часть дифференциального включения (3) будем налагать следующие условия: а1) элементы nn-матриц A  t  и A  t  суммируемы на любом отрезке 1 T   t ,t  T ; б1) для любых  t,u  T Rm b  t,u  – выпуклый компакт из Rn; 0 1   в1) многозначное отображение  t,u  b  t,u  измеримо по tT и непрерывно по uRm, причем  tu  t, bt,u, t,uT Rm, где     , i 1,2 - суммируемые 1 2  i на любом отрезке T T функции; г1) опорная функция C b t,u ,  max , :b t,u выпукла по uV при почти всех tT . Лемма 1[7]. Справедливо следую