БИНАРНЫЕ И ТРОЙНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГОЛЬДБАХА

Аннотация

In this thesis, the results of Goldbach's binary and ternary problems and who worked on the problems and what results were obtained will be briefly discussed. Key words: Goldbach problem, binary problem, ternary problem. БИНАРНЫЕ И ТРОЙНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ГОЛЬДБАХА Аннотация. В данной диссертации будут кратко обсуждаться результаты решения бинарных и тернарных задач Гольдбаха, а также кто работал над этими проблемами и какие результаты были получены. Ключевые слова: задача Гольдбаха, бинарная задача, тройная задача. Nemis matematigi Xristian Goldbax (Christian Goldbach(1690-1764)) nomi bilan yuritiladigan Goldbax muammosi birinchi marta 1742-yilda Goldbax va Shvetsariyalik nemis matematigi Eyler (Leonhard Euler 1707-1783) o‘rtasida yozishmalarda paydo bo‘lgan. 1742-yilda Xristian Goldbax Leonard Eylerga yozgan xatida quyidagi taxminni aytadi: Har qanday 6 dan kichik bo‘lmagan juft natural sonni ikkita toq tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin. (Goldbaxning binar muammosi); Har qanday 9 dan kichik bo‘lmagan toq natural sonni uchta toq tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin. (Goldbaxning ternar muammosi). Bu muammolar birgalikda Eyler-Goldbax muammosi deb ham yuritiladi. X.Goldbax va L.Eyler orasidagi 1742-yildagi yozishmalardan Eyler-Goldbax muammosi vujudga kelgan. U zamonaviy tilda quyidagicha ifodalanadi. I. Har qanday toq natural 𝑛 ≥ 9 sonni uchta toq tub sonlarning yig‘indisi ko‘rinishida yozish mumkin; II. Har qanday juft natural 𝑛 ≥ 6 sonni ikkita toq tub sonlarning yig‘indisi ko‘rinishida yozish mumkin. Bu tasdiqlarning birinchisiga Goldbaxning ternar problemasi, ikkinchisiga esa binar problemasi ham deb yuritiladi. Tushunarliki, Goldbaxning binar problemasining o‘rinli ekanligidan ternar problemanig o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Haqiqatan ham, 2𝑛 = 𝑝 +𝑝 bo‘lsa, u holda 2𝑛+3 = 𝑝 +𝑝 + 1 2 1 2 3, tenglik barcha 𝑛 = 3,4,… lar uchun bajariladi. Bu muammolar o‘z vaqtida matematikaning juda ham qiyin problemalardan hisoblangan. 1912-yilgacha Goldbax problemasini hozirgi zamon matematikasi metodlari bilan yechib bo‘lmaydi degan fikr mavjud bo‘lgan. 3 27 International scientific journal ISSN: 2181-3906 «MODERN SCIENCE АND RESEARCH» 2024 VOLUME 3 / ISSUE 3 / UIF:8.2 / MODERNSCIENCE.UZ Faqat 1919-yilga kelib V.Brun mohiyati jihatidan Eratosfen g‘alvirining takomillashtirilgani bo‘lgan metodni ishlab chiqdi. U o‘z metodi yordamida har qanday yetarlicha katta natural sonni har biri 9 tadan ortiq bo‘lmagan tub sonlar ko‘paytmasidan iborat bo‘lgan ikkita qo‘shiluvchining yig‘indisi ko‘rinishida ifodalash mumkin ekanligini ko‘rsatdi. Keyinchalik B.Brun natijasi bir necha bor yaxshilandi, lekin Goldbax problemasini bu metod bilan yechib bo‘lmadi. Shunga qaramasdan B.Brun metodi, keyinchalik esa uning turli shakl o‘zgartirilgan variantlari: A.Selberg g‘alviri, Yu.Linnikning katta g‘alvirlari tub sonlar taqsimoti nazariyasida tadbiq etilib, bu sohada salmoqli natijalar olish imkonini berdi. Ingliz matematiklari G.Xardi va Dj.Littlvud (Hardy G.H., Littlewood J.E.) lar 1924-yilda Goldbaxning ternar problemaga doiraviy usulni qo‘llab, hozircha isbotlanmagan Dirixle 𝐿− funksiyaning no‘llari haqidagi Rimanning umumlashgan gipotezasini(URG) (unga ko‘ra Dirixle 𝐿 − funksiyasi) 𝐿(𝑠,𝜒) = ∑∞ 𝜒(𝑛) , 𝑅𝑒𝑠 = 𝜎 > 1, (𝑠 = 𝜎 +𝑖𝑡) (1) 𝑛=1 𝑛𝑠 1 (bunda 𝜒(𝑛)−Dirixle xarakteri) ning barcha trivilal bo‘lmagan no‘llari 𝜎 = to‘g‘ri 2 chiziqda yotadi) o‘rinli deb qarab yetarlicha katta 𝑛 toq sonining uchta tub son yig‘indisi 𝑛 = 𝑝 +𝑝 +𝑝 ko‘rinishda ifodalashlar soni ℛ (𝑛) uchun asimptotik formula oladilar. 1 2 3 I.M.Vinogradov o‘zi yaratgan trigonometrik yig‘indilar metodi yordamida 1937-yilda yetarlicha katta 𝑛 ≥ 𝑁 lar uchun bu masalani hal qildi. 1956-yilda K.G.Borozdkin bunda 𝑁 ≤ 0 0 𝑒𝑥𝑝𝑒𝑥𝑝𝑒𝑥𝑝(41,96) bo‘lishi kerak ekanligini ko‘rsatdi. Keyinchalik bu natija Chen Jingren va A.Qosimovlar tomonidan bir necha bor yaxshilandi. (1,𝑁 ) oraliqdagi toq sonlar uchun Goldbaxning ternar problemasining o‘rinli ekanligi 1 kompyuterlar yordamida tekshirib ko‘rilgan. Shuning uchun ham faqat (𝑁 ,𝑁 )− oraliqda 1 0 problemaning o‘rinli ekanligini isbotlash qoldi. Bu sohadgi oxirgi natija J.M.Deshouillers, G. Effinger, H.Te Riele va D. Zinoviev larga tegishli. Ular agar URG o‘rinli bo‘lsa, ternar problemaning barcha toq 𝑛 ≥ 6 lar uchun o‘rinli ekanligini ko‘rsatdilar. Lekin URG esa hozircha to‘la isbotlamagan. Ikkita tub son yig‘indisi haqidagi problеmani esa Rimanning umumlashgan gipotеzasiga tayanib ham hal etib bo‘lmadi. G.Xardi va Dj.Littlvudlar faqatgina “dеyarli barcha” juft sonlarning ikkita tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanishinigina ko‘rsata oldilar xolos, ya'ni agar 𝐸(𝑋) bilan 𝑋 dan katta bo‘lmagan va ikkita tub son yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanmaydigan dеb gumon qilingan juft sonlar sonini bеlgilasak 𝐸(𝑋) lim = 0 (2) ekanligini isbotladilar. 𝑋→∞ 𝑋 1930-yilda L.G.Shnirеlman sonlar nazariyasining additiv masalalarini yеchish uchun yangi mеtodni taklif etdi. U o‘zi taklif etgan mеtod bilan shunday bir 𝑟 absolyut doimiysi ma