Использование двумерных сплайнов эрмита в обработке изображений

Аннотация

В ходе исследования рассматривалось использование кусочно-полиномиальных мето- дов в цифровой обработке изображений. В качестве математической модели при цифровой обработке сигналов выбрана эрмитова сплайн-функция из кусочных многочленов и представлена конструкция эрмитовой сплайн-функции третьего порядка с двумя переменными. На основе построенной матема- тической модели разработан алгоритм восстановления изображения. Abstact. During the research, the use of piece-polynomial methods in digital processing of images was considered. The Hermite spline function is chosen from piece-polynomials as a mathematical model in digital processing of signals, and the construction of a two-variable third-order Hermite spline function is presented. An image restoration algorithm was developed based on the constructed mathematical model. Anotatsiya. Tadqiqot raqamli tasvirni qayta ishlashda parcha polinom usullaridan foydalanishni o'rganib chiqdi. Raqamli signalni qayta ishlash uchun matematik model sifatida qismlarga bo'lingan polinomlarning Germit spline funksiyasi tanlanadi va ikkita o'zgaruvchiga ega uchinchi tartibli Germit spline funksiyasining konstruktsiyasi taqdim etiladi. Tuzilgan matematik model asosida tasvirni tiklash algoritmi ishlab chiqilgan. Ключевые слова: изображение, кусочно-полиномиальные методы, кубический сплайн Эрмита, локальные сплайн-функции. Key words: image, piece-polynomial methods, cubic Hermite spline, local spline functions. Kalit so'zlar: tasvir, bo'lakli ko'phad usullar, Ermit spline kubi, mahalliy spline funksiyalari. ¹ PhD ТУИТ, Ташкент, Узбекистан. e-mail: bunyodbekazimov@mail.ru. ORCID: 0000-0002-6919-7505 ² Докторант, Андижанский государственный университет, АНДИЖАН, Узбекистан. e-mail: mr_muhriddin_20@mail.ru. ORCID: 0000- 0001-7138-6084 ³ преподаватель, ALFRAGANUS UNIVERSITY, Ташкент, Узбекистан. e-mail: m.mannapova.94@gmail.com. ORCID:0000-0002-4489-3320 2 AAllffrraaggaannuuss xxaallqqaarroo iillmmiiyy jjuurrnnaall Для стремительно развивающихся в мире информационных и коммуникационных технологий важна разработка высокопроизводительных, эффективных вычислительных методов восстановления изображений, использование алгоритмов цифровой обработки и поиск оптимальных решений. Локальный сплайн является важным математическим аппаратом при создании алгоритмов цифровой обработки сигналов благодаря малому количеству вычислений при построении функций, высокой точности, гибкости алгоритмов цифровой обработки, оптимальным дифференциальным и экстремальным свойствам, простоте расчета параметров. В этом направлении ведутся передовые научные исследования в развитых странах мира, таких как США, Германия, Великобритания, Индия, Китай, Южная Корея, Российская Федерация, Япония [6], [13]. В данной статье подробно описывается построение двумерной эрмитовой сплайн-функции третьего порядка и численная обработка изображений [1,2,3]. 1. Построение двухпеременной сплайн-функции Эрмита. Для построения в заданной области D=[a,b]×[c,d] разобьем эти пространства на части равные N по оси OX, на части равные M по оси OY и построим сетку одинакового размера. . 𝛥𝛥=𝛥𝛥𝑥𝑥×𝛥𝛥𝑦𝑦 где, шаги h и l выбираются следующим образом: 𝛥𝛥𝑥𝑥:𝑎𝑎=𝑥𝑥0 <𝑥𝑥1 <...<𝑥𝑥𝑁𝑁 =𝑏𝑏,𝛥𝛥𝑦𝑦:𝑐𝑐 =𝑦𝑦0 <𝑦𝑦1 <...<𝑦𝑦𝑀𝑀 =𝑑𝑑. , ; . Затем, давайте посмотрим на следующую ячейку: ℎ=𝑥𝑥𝑖𝑖+1−𝑥𝑥𝑖𝑖 𝑖𝑖=0,1,...,𝑁𝑁−1 𝑙𝑙=𝑦𝑦𝑗𝑗+1−𝑦𝑦𝑗𝑗,𝑗𝑗=0,1,...,𝑀𝑀−1 𝛥𝛥 =𝛥𝛥𝑥𝑥×𝛥𝛥𝑦𝑦 Тогда мы з∗наем значения функции в узло∗вых точках - которым принадлежит площадь 𝛥𝛥𝑥𝑥:𝑥𝑥−1 <𝑥𝑥0 <𝑥𝑥1 <...<𝑥𝑥𝑁𝑁 <𝑥𝑥𝑁𝑁+1,𝛥𝛥𝑦𝑦:𝑦𝑦−1 <𝑦𝑦0 <𝑦𝑦1 <...<𝑦𝑦𝑀𝑀 <𝑦𝑦𝑀𝑀+1. , т.е.: ∗ ∗ 𝐷𝐷 𝛥𝛥 𝐷𝐷 =[𝑎𝑎−ℎ,𝑏𝑏+ℎ]×[𝑐𝑐−𝑙𝑙,𝑑𝑑+𝑙𝑙] На основе приведенных выше значений строится параболическая локальная эрмитова 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦𝑗𝑗)=𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗, 𝑖𝑖=−1,0,1,…,𝑁𝑁,𝑁𝑁+1; 𝑗𝑗=−1,0,1,…,𝑀𝑀,𝑀𝑀+1. (1) сплайн-функция, интерполирующая функцию f(x,y) в поле D. В правой части этих равенств ст𝑟𝑟о,0ят одномерные с𝑟𝑟п,0лайнов которые можно вычислить по 𝐷𝐷 𝑆𝑆3,3(𝑥𝑥𝑝𝑝,𝑦𝑦)=𝑆𝑆3[𝐷𝐷 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑝𝑝,𝑦𝑦);𝑦𝑦], 𝑟𝑟=0,1; 𝑝𝑝=𝑖𝑖,𝑖𝑖+1 (2) формуле (1): 𝑟𝑟,0 (𝑟𝑟,0) (𝑟𝑟,0) 𝑆𝑆3[𝐷𝐷 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑝𝑝,𝑦𝑦); 𝑦𝑦]=𝜑𝜑1(𝑢𝑢)𝑓𝑓𝑝𝑝,𝑗𝑗 +𝜑𝜑2(𝑢𝑢)𝑓𝑓𝑝𝑝,𝑗𝑗+1+ (𝑟𝑟,1) (𝑟𝑟,1) где, +𝑙𝑙𝑗𝑗𝜑𝜑3(𝑢𝑢)𝑓𝑓𝑝𝑝,𝑗𝑗 +𝑙𝑙𝑗𝑗𝜑𝜑4(𝑢𝑢)𝑓𝑓𝑝𝑝,𝑗𝑗+1, 𝑟𝑟=0,1; 𝑝𝑝=𝑖𝑖,𝑖𝑖+1, (3) 𝑦𝑦−𝑦𝑦𝑗𝑗 Упро𝑙𝑙с𝑗𝑗т=им𝑦𝑦𝑗𝑗 (+31) +по𝑦𝑦 𝑗𝑗ф, о𝑢𝑢р=мул𝑙𝑙𝑗𝑗е (.1): 𝑆𝑆3,3(𝑥𝑥,𝑦𝑦)=𝜑𝜑1(𝑡𝑡)𝑆𝑆3[𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦); 𝑦𝑦]+𝜑𝜑2(𝑡𝑡)𝑆𝑆3[𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1,𝑦𝑦); 𝑦𝑦]+ где, 1,0 1,0 +ℎ𝑖𝑖𝜑𝜑3(𝑡𝑡)𝑆𝑆3[𝐷𝐷 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑦𝑦); 𝑦𝑦]+ℎ𝑖𝑖𝜑𝜑4(𝑡𝑡)𝑆𝑆3[𝐷𝐷 𝑓𝑓(𝑥𝑥𝑖𝑖+1,𝑦𝑦); 𝑦𝑦], (4) 𝑥𝑥−𝑥𝑥𝑖𝑖 Одноℎй𝑖𝑖 =и𝑥𝑥з𝑖𝑖 +и1н+те𝑥𝑥р𝑖𝑖,по𝑡𝑡л=яцℎи𝑗𝑗он. ных кубических сплайн-функций является функция локальной интерполяции между значениями строится с использованием 𝐸𝐸𝑆𝑆3,3(𝑥𝑥,𝑦𝑦) значений и проходит через следующие узлы: 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗 [𝑥𝑥𝑖𝑖,𝑥𝑥𝑖𝑖+1]×[𝑦𝑦𝑗𝑗,𝑦𝑦𝑗𝑗+1] 𝜑𝜑(𝑡𝑡)=[𝜑𝜑1(𝑡𝑡),𝜑𝜑2(𝑡𝑡),ℎ𝑖𝑖𝜑𝜑3(𝑡𝑡),ℎ𝑖𝑖𝜑𝜑4(𝑡𝑡)], 1,0 1,0 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑓𝑓𝑖𝑖+1,𝑗𝑗 𝑓𝑓 1 𝑖𝑖𝑗𝑗 ,0 𝑓𝑓 1 𝑖𝑖 , + 0 1,𝑗𝑗 𝜑𝜑1(𝑢𝑢) 𝑓𝑓𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑓𝑓𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1 𝑓𝑓𝑖𝑖,𝑗𝑗+1 𝑓𝑓𝑖𝑖+1,𝑗𝑗+1 𝜑𝜑2(𝑢𝑢) 𝐹𝐹 = 𝑓𝑓𝑖𝑖𝑗𝑗 0,1 𝑓𝑓𝑖𝑖 0 + , 1 1 ,𝑗𝑗 𝑓𝑓𝑖𝑖 1 𝑗𝑗 ,1 𝑓𝑓𝑖𝑖 1 + , 1 1 ,𝑗𝑗 , 𝜑𝜑(𝑢𝑢)= 𝑙𝑙𝑗𝑗𝜑𝜑3(𝑢𝑢) Следует отметить, [ 𝑓𝑓 ч 𝑖𝑖 0 ,𝑗𝑗 т, + 1о 1 сп 𝑓𝑓𝑖𝑖 л0 + а, 1 1й ,𝑗𝑗+ н 1 𝑓𝑓𝑖𝑖 1 ,𝑗𝑗 , + 1 1 𝑓𝑓𝑖𝑖 1 + , 1 1 я ,𝑗𝑗 в + л 1 я ] ется одноме[р𝑙𝑙𝑗𝑗н𝜑𝜑ы4(м𝑢𝑢 )л]окальным