РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ

Аннотация

Information about biquadratic equations, equations containing reciprocal expressions, full square separation method, inverse equations is given in this article, and methods of solving higher order equations are studied. Key words: equation, root, equation, degree, if, division. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ВЫСШЕЙ СТЕПЕНИ Аннотация. В статье приведены сведения о биквадратных уравнениях, уравнениях, содержащих обратные выражения, методе полноквадратного разделения, обратных уравнениях, а также изучены методы решения уравнений высших порядков. Ключевые слова: уравнение, корень, уравнение, степень, если, деление. 1. Bikvadrat tenglamalar. Noma’lumning toq darajalari qatnashmagan to‘rtinchi darajali butun algebraik ratsional tenglama bikvadrat tenglama deyiladi. Har qanday bikvadrat tenglamani shakl almashtirishlardan keyin quyidagi kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin: (1) Agar (1) tenglamada almashtirishni bajarsak, kvadrat tenglama yuzaga keladi. Bu tenglamaning ildizlari formulalar bo‘yicha topiladi. 138 a x 4  b x 2  c  0 ( a  0 ) x 2  y a y 2  b y  c  0 b b2 4ac b b2 4ac y  , y  1 2a 2 2a Agar bo‘lsa, u holda (1) bikvadrat tenglama to‘rtta ildizga ega bo‘ladi: (2) 1-misol. tenglamani yechishda (2) formuladan foydalanamiz: Javob: -3; -2; 2; 3. 2. O‘zaro teskari ifodalarni o‘z ichiga oluvchi tenglama. Bunday tenglamalar (3) ko‘rinishga ega bo’ladi. (3) tenglama almashtirishlar bilan t ga nisbatan kvadrat tenglamaga keltiriladi: (4) tenglama ildizlarga ega bo‘lsa, u holda quyidagi ikkita tenglamani olamiz: Bu tenglamalar shartida (3) tenglamaga teng kuchli bo‘ladi. 2-misol. tenglamani yechish: 139 y 1  0 , y 2  0 ( a  0 , c  0 , b 2  4 a c  0 , b  0 y o k i a  0 , c  0 , b 2  4 a c  0 , b  0 ) b b2 4ac x   , 1,2 2a b b2 4ac x   . 3,4 2a x x 1 ,2 3 ,4 x 1 1 4 3 3 1 3 1 1 x 6 2 6 2 2 9 9 3 1 1 6 4 4 4 4 0 1 1 3 3 2 2 5 5 4 9 2 3 ; . f(x) (x) a b  c (x) f(x) f(x) (x) 1 t,  (x) f(x) t 1 atb  c  at2 ct b  0. t t1 v a t 2 f(x)t(x) 0, f(x)t(x) 0. 1 2 f(x)(x)  0 x2 1 x   2,9 x x2 1 Tenglamaning aniqlanish sohasiga faqat x=0 soni kirmaydi. Agar bo‘ladi. Bundan t ga nisbatan kvadrat tenglamaga keltiriladi. Uning ildizlarini topamiz: 1) tenglamani olamiz. Bu tenglamaning ildizlarini topamiz: ; 2) tenglamani hosil qilinadi, uning ildizlari bo‘ladi. Javob: 3.To‘liq kvadrat ajratish usuli. Ba’zi bir to’rtinchi darajali tenglamalarni to‘liq kvadrat ajratish bilan kvadrat tenglamaga keltirib yechish mumkin. Buni misol orqali ko‘ramiz. 3-misol. tenglamani yechish: Tenglamaning chap qismidan to‘liq kvadrat ajratiladi: Agar tenglamani hosil qilinadi, uning ildizlarini topiladi: . 1) bo‘lganda tenglamani keltiriladi, uning ildizlarini topiladi: . 2) bo’lganda tenglamani hosil qilinadi va uning ildizlarini topiladi: . Javob: 4.Qaytma tenglamalar. 140 x x 2 3 x 1 2 ; t d e s a k , 2 t  1  5 1  2 i x  1 5 5 t  2 2 1 x  4 2 x 1 4 3 x  4 x  4 2 2 ( x  2 x )  2 x x b 6 b x 1 x 1 2  1 t o 'l g a n d 1 , x  2 o 'l g a n d 2 ; x  2 4 3 x  4 x 2 2  1 4 x 2 4 ( x  2 2 x  t 2 a 5 x  2 x   2 i 6 5 2 a 2 x  5 x  1 1  2 ; x  3 2 5 2  1 0 x  2 8 x  2 8 x  1 5  x )  1 5  0 . d e s a k , t 5 5 i 0 , g 6 1 5 a 0 0 ; n x 4 0 i s b a 1 t a n 2 5 i t  1 6 2 t . 0 , 1 t 4 , 4 t t 1 t 2 1 5 2 2 ,9 ,5 0 .  t 2  2 ,9 t  1  0 t  1, t 15 1 2 t  1 1 x 1 ,2   1 t 2  1 5 x 2 x 2 2 x 2 x 1 1 5 0  0 x 3, x  5 3 4 x  x  1, x 3, x  5. 1 2 3 4 Ushbu Ko‘rinishdagi butun algebraik tenglama qaytma tenglama deyiladi. Bunda tenglamaning boshidan va oxiridan bir xil uzoqlikda yotgan hadlarning koeffitsientlari bir-biriga teng bo‘ladi. Qaytma tenglamaning ildizlaridan hech biri nolga teng emasligini ko‘rish oson. Agar x=0 tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda biz a=0 ga ega bo‘lamiz va tenglamaning darajasi pastroq bo‘ladi. Oldin juft (n=2k) darajali qaytma tenglamani qaraymiz. Tenglamaning har ikkala qismini ga bo‘lib, hadlarni guruhlash natijasida uni quyidagi ko‘rinishga keltiramiz: (5) Agar (5) tenglamada desak, ketma-ket quyidagilarni topamiz: (6) (6) ni (5) ga qo‘yib, y ga nisbatan k darajali tenglamani hosil qilamiz. x ning qiymatlarini esa tenglamadan topamiz. Toq darajali (n=2k+1) qaytma tenglamani yechish juft darajali qaytma tenglamani yechishga keltiriladi. Ushbu tenglamaning x=-1 ildizga ega ekanligini ko‘rish qiyin emas. Demak, buning chap qismi x+1 ga bo‘linadi. Tenglamaning ikkala qismini har biri x+1 ga bo‘linadigan qo‘shiluvchilar yig‘indisi ko‘rinishida ifodalanadi: Shunday qilib, masala juft ko‘rsatkichli ushbu qaytma tenglamani yechishga keltiriladi. Qaytma tenglamaning yana o‘ziga xos bir xususiyati bor. Agar soni qaytma tenglamaning ildizi bo‘lsa, u holda soni ham shu tenglamaning ildizi bo‘ladi. 141 a x n  b x n  1  c x n  2  ...  x k c x 2  b x  a  0 1 1 1 a(xk  ) b(xk1  ) ... l(x  )  f 0. xk xk1 x x  1 x  y 1 1 x2   y2 2; x3   y3 3y;... . x2 x3 x 2  a a ( y x  2 k  1 x 2 k  ( x x  1 ) 1 1 ( a b x 0 2 x 1 ) 2 k