Численное решение задачи Коши для дифференциальных уравнений первого порядка

Аннотация

В данной работе рассматривается численное решение задачи Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Приведена программная реализация метода Эйлера и Рунге – Кутта. Численные методы – раздел прикладной Самым распространенным приближенным математики, в котором проводятся разработка, способом решения дифференциальных уравнений обоснование и реализация (на базе вычислительной является метод конечных разностей. Его сущность техники) методов приближенного решения состоит в следующем: область непрерывного разнообразных задач на уровне математических изменения аргумента заменяется дискретным моделей. множеством точек, называемых узлами. Эти узлы Пусть дано дифференциальное уравнение: составляют разностную сетку. Искомая функция 𝐹 =(𝑥,𝑦,𝑦′,𝑦′′,…,𝑦𝑛)=0 (1). непрерывного аргумента приближенно заменяется Решением дифференциального уравнения (1) функцией дискретного аргумента на заданной сетке. называется функция 𝑦=𝜑(𝑥), которая после Эта функция называется сеточной. Исходное её подстановки в уравнение превращает его уравнение заменяется разностным уравнением в тождество. относительно сеточной функции. Такая замена Общее решение обыкновенного называется аппроксимацией дифференциального дифференциального уравнения n -го порядка уравнения на сетке. содержит n произвольных постоянных Таким образом, решение дифференциального c ,c ,...,c , т. е. общее уравнение имеет вид 𝑦= уравнения сводится к отысканию значений 1 2 n сеточной функции в узлах сетки. 𝜑(𝑥,𝑐 ,𝑐 ,…,𝑐 ). 1 2 𝑛 Решение задачи Коши для дифференциального Частное решение дифференциального уравнения уравнения первого порядка 𝑦′ =𝑓(𝑥,𝑦), получается из общего, если произвольным заключается в отыскании функции 𝑦(𝑥), постоянным придать определенные значения. удовлетворяющей этому уравнению и начальным Для выделения частного решения из общего условиям 𝑦(𝑥 )=𝑦 , где 𝑥 , 𝑦 - заданные числа. нужно задавать столько дополнительных условий, 0 0 0 0 Самые распространенные разностные методы сколько произвольных постоянных в общем решения поставленной задачи: метод Эйлера решении, т.е. каков порядок уравнения. и метод Рунге – Кутта. В зависимости от способа задания дополнительных условий для получения частного МЕТОД ЭЙЛЕРА решения дифференциального уравнения существует два типа задач: задача Коши и краевая Получение таблицы значений искомой задача. Если условия задаются в одной точке, функции 𝑦(𝑥) заключается в циклическом то это задача Коши, если более чем в одной точке, применении формулы: 𝑦 =𝑦 +ℎ𝑓(𝑥,𝑦), 𝑖+1 𝑖 𝑖 𝑖 то это краевая задача. i = 0,1,2,… . В математическом анализе разработано немало приемов нахождения решений дифференциальных МЕТОД РУНГЕ-КУТТА уравнений через элементарные функции. Между тем весьма часто при решении практических Этот метод наиболее распространенный задач эти методы либо неприменимы, либо их и основан на вычислении значения функции применение очень трудоемко. По этой причине для в четырех точках, что позволяет добиться большой решения дифференциальных уравнений созданы точности. приближенные методы. На каждом шаге вычисления выполняются по формуле: double main_func(double x, double y) { 𝑦 =𝑦 + 1 (𝑘 +2𝑘 +2𝑘 +𝑘 ), return x + cos(y / sqrt(5)); 𝑖+1 𝑖 6 1 2 3 4 где i = 0,1,2,… } 𝑘 =ℎ∙𝑓(𝑥,𝑦), double rungeKutta(double x0, double y0, double h, 1 𝑖 𝑖 𝑘 =ℎ∙𝑓(𝑥 + ℎ ,𝑦 + 𝑘1), double x_end) { 2 𝑖 2 𝑖 2 𝑘 =ℎ∙𝑓(𝑥 + ℎ ,𝑦 + 𝑘2), double x = x0; 3 𝑖 2 𝑖 2 double y = y0; 𝑘 =ℎ∙𝑓(𝑥 +ℎ,𝑦 +𝑘 ) 4 𝑖 𝑖 3 while (x int main() { #include setlocale(0, ""); using namespace std; double x0 = 1.8; double main_func(double x, double y) { double y0 = 2.6; return x + cos(y / sqrt(5)); double h = 0.1; } double x_end = 2.6; void eulerMethod(double x0, double y0, double h, double result = rungeKutta(x0, y0, h, x_end); double x_end) { cout << "Функция, с которой работаем:: y' = x + double x = x0; cos(y / 5^(1/2))" << endl; double y = y0; cout << "Начальные условия: "; while (x < x_end + h) { cout << "x0 = " << x0 << ", y0 = " << y0 << ", h = cout << "x = " << x << ", y = " << y << endl; " << h << endl; y = y + h * main_func(x, y); cout << "Результат метода Рунге Кутта: " << x = x + h; result << endl; } return 0; } } int main() { double x0 = 1.8; double y0 = 2.6; double h = 0.1; double x_end = 2.6; eulerMethod(x0, y0, h, x_end); ЛИТЕРАТУРА return 0; [1] Бахвалов, Н.С. Численные методы : учеб. пособие / } Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. – М.: Наука, 1987, 598 с. [2] Бахвалов, Н.С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С. Бахвалов, А.В. Лапин, Е.В. Чижонков. – М.: Высшая школа, 2000, 190 с. [