Одна задача об отражении изгибной волны от упругого закрепления

Аннотация

В этой работе приводятся решения задачи отражения изгибных волн от кромки пластинки при усложненных граничных условиях. Для частного случая свободной кромки, как предельный случай отсутствия отраженной волны, получается решение задачи локализованных изгибных колебаний. Задачам отражения упругих волн от плоской 𝐷(𝑘2 + 𝑘2)2- 2𝜌ℎ𝜔2 = 0 (1.4) 1 2 границы среды посвящены многочисленные исследования [1,2,3]. Сравнительно мало работ Из (1.4) можно определить волновое число k 2 связаны с вопросами отражения изгибных волн от посредством k 2 и ω в виде четырех корней [7], плоской кромки тонкой пластинки [4,5]. где Постановка задачи 1. Рассматривается область −  х , 𝑘 21 = −𝑘 22 = √Ω−𝑘 1 2, k 23 =-k 24 =is, 0  у   , -h  z  h . S=√Ω+𝑘2 (1.5) На кромку пластинки y = 0 падает изгибная 1 волна. Требуется определить отраженную волну Очевидно, что для существования падающей при различных условиях упругого закрепления волны необходимо условие кромки y=0. Уравнение изгибных колебаний изотропной 1 1 пластинки по теории Кирхгофа имеет вид 1 2 ,  =(2𝜌ℎ)2𝐷− 2w (1.6) D ∆2𝑤 + 2gh 𝜕2𝑤 = 0 (1.1) Из (1.3) и (1.5), с учетом (1.6), следует, что 𝜕𝑡2 где w – функция прогиба пластины, ρ – решение для падающей волны имеет вид [8] плотность материала, D– жесткость на изгиб 2𝐸ℎ3 W n =Aexp𝑖(ωt−k 1 x+k 21 y), k 1 ≥0, (1.7) D = (1.2) 3(1−𝑣2) а для отраженной волны E − модуль Юнга,  − коэффициент Пуассона. Решение задачи 𝑊 =𝐵𝑒𝑥𝑝𝑖(𝜔𝑡−𝑘 𝑥−𝑘 𝑦)+𝐶𝑒𝑥𝑝𝑖(𝜔𝑡− отр 1 21 𝑘 𝑥+𝑘 𝑦) (1.8) Если представить решение уравнения (1.1) в 1 23 виде гармонических волн [6] Согласно (1.5), в (1.8) слагаемое с амплитудой C является неоднородной волной, т.к. она затухает 𝑤 =𝑤 expi(𝜔𝑡−𝑘 𝑥+𝑘 𝑦), (1.3) 0 1 2 по глубине [9,10]. Амплитуды отражённых волн то получается следующее характеристическое B и C должны определяться удовлетворением уравнение: граничными условиями при y = 0 [11,12]. 2. Упругое закрепление. При  → 0 получим B = A, C = 0. (3.4) Рассматривается случай неоднородная волна не отражается [17]. W=0, D𝜕2𝑤/𝜕𝑦2 − 𝐶2𝜕𝑤 =0 , при y = 0.  →  B=2A , C = −2𝑖√Ω−𝑘2 (3.5) 1 (2.1) 4. Свободный край с пружиной При C 2 = 0 получается случай, когда край 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 пластинки шарнирно закреплен. Подстановка 𝑦=0, +𝑣 =0 𝜕𝑦2 𝜕𝑥2 W = W n +𝑊 отр D[ 𝜕 𝜕 3 𝑦 𝑤 3 +(2−𝑣) 𝜕 𝜕 𝑦 3 𝜕 𝑤 𝑥2 ]−𝐶 1 𝑤=0 (4.1) Алгебраические уравнения имеют вид: из (1.7), (1.8) в граничные условия (2.1) приводит (𝑘2 +𝑣𝑘2)𝐴 +(𝑘2 +𝑣𝑘2)𝐵+(𝑘2 +𝑣𝑘2)𝐶 =0 к системе алгебраических уравнений [13,14] 21 1 21 1 23 1 (𝑖𝑘3 +(2−𝑣)𝑖𝑘 𝑘2+𝛽)𝐴−(𝑖𝑘3 +(2− 21 21 1 21 A + B + C = 0 𝑣)𝑖𝑘 21 𝑘 1 2−𝛽)𝐵+( 𝑖𝑘 2 3 3 +(2−𝑣)𝑖𝑘 23 𝑘 1 2+ 𝛽)𝐶 =0 (4.2) 𝑘 (𝑘 +𝑖𝑎)𝐴+ 𝑘 ( 𝑘 −𝑖𝑎)𝐵+𝑘 (𝑘 + где β=𝐶 𝐷−1. 21 21 21 21 23 23 −1 𝑖𝑎)𝐶 =0 (2.2) Получается 𝐵 = где α=С 2 𝐷−1, Получается −2𝑖𝛽Ω+𝑘1 4(𝑣−1)2(𝑘21−𝑖𝑠)+Ω2(𝑘21−𝑖𝑠)−2𝑘1 2Ω(𝑣−1)(𝑘21+𝑖𝑠) A (𝑘21+𝑖𝑠)[𝑘1 4(𝑣2−1)+Ω2+2𝑖𝑘1 2𝑘21𝑠(𝑣−1)+𝛽(𝑖𝑘21+1)] 2Ω+α(√Ω+k1 2 +i√Ω−k1 2) B=− 2Ω+α(√Ω+k1 2 −i√Ω−k1 2) A, 𝐶 = (𝑘21+𝑖𝑠)[−𝑘1 4(𝑣2 2 − 𝑖 1 𝑘 ) 2 − 1( Ω 𝑘 2 1 4 + ( 2 𝑣 𝑖 − 𝑘 1 1 2 ) 𝑘 2 2 − 1 Ω 𝑠( 2 𝑣 ) −1)+𝛽(𝑖𝑘21+1)] A (4.3) 2𝑖𝑎√Ω−𝑘1 2 при β→∞ 𝐶 = А. (2.3) 𝐵 = 𝑘1 4(𝑣−1)2(𝑘21−𝑖𝑠)+Ω2(𝑘21−𝑖𝑠)−2𝑘1 2Ω(𝑣−1)(𝑘21+𝑖𝑠) A 2Ω+𝛼(√Ω+𝑘1 2 −𝑖√Ω−𝑘1 2) (𝑘21+𝑖𝑠)[𝑘1 4(𝑣2−1)+Ω2+2𝑖𝑘1 2𝑘21𝑠(𝑣−1)] При  → 0 получим B = -A, C = 𝐶 = 2𝑖𝑘21(𝑘1 4(𝑣−1)2−Ω2) A (4.4) 0 – условия Навье, при шарнирном закреплении (𝑘21+𝑖𝑠)[−𝑘1 4(𝑣2−1)−Ω2+2𝑖𝑘1 2𝑘21𝑠(𝑣−1)] неоднородная волна не существует [15,16]. 5. Свободный край с сопротивлением При  →  получим 𝜕2𝑤 𝜕2𝑤 𝜕𝑤 𝐵 =−Ω−1(𝑘2+𝑖√Ω−𝑘4 )𝐴 𝐷( +𝑣 𝜕𝑥2 )−𝐶𝜕𝑥 =0 (5.1) 1 1 (k2 +vk2−αik )A+(k2 +vk2−αik )B 21 1 1 21 1 1 +(k2 +vk2−αik )C=0 𝐶 =−Ω−1( −𝑘2−𝑖√Ω2−𝑘4)𝐴 (2.4) 23 1 1 1 1 [ik (k2 −(2−v)k2 ]A−[ik (k2 −(2− 21 21 1) 21 21 3. Скользящий контакт. v)k 1 2 ) ]B+[ik 23 (k 2 2 3 −(2−v)k 1 2 ) ]C=0 (5.2) Получается 𝜕𝑤 𝜕3𝑤 2 =0, −𝐶 𝑤 = 0 (3.1) 𝐵 =−[1− ]𝐴 (5.3) 𝜕𝑦 𝜕𝑦3 1 Ω−𝑘1 2−(1−𝑣)−𝑖𝛼𝑘1 2 C= 𝐴 Алгебраические уравнения имеют вид Ω+𝑘1 2−(1−𝑣)+𝑖𝛼𝑘1 2 2 α→0,𝐵 =[ −1]𝐴, 𝐶 = 𝐴 𝑘 21 𝐴− 𝑘 21 𝐵+ 𝑘 23 𝐶 =0, Ω−𝑘1 2(1−𝑣) Ω∓(1−𝑣) (5.4) (𝑘 2 3 1 +𝛽)𝐴−(𝑘 2 3 1 − 𝛽)−(𝑘 2 3 3 + 𝛽)𝐶 =0 (3.2) α→∞, 𝐵 =−[1+ 2 ]𝐴, 𝐶 =[ 2 ]𝐴, (5.5) 𝑖𝑘1 𝑖𝑘1 где β=С 𝐷−1. 1