Сейсмические колебания многоэтажных зданий на основе континуальной модели

Аннотация

A technique for numerical dynamic calculation of the dynamic characteristics of a multi-storey building using a continuum plate dynamic model developed in the framework of the Tymoshenko theory of plates describing the seismic vibrations of buildings is proposed. The transverse vibrations of the building under seismic effects are considered. Numerical values of the first three natural frequencies and periods of natural oscillations of a multi-storey building are obtained. Keywords: continuum plate model, multi-storey building, removed moduli of elasticity, seismic effects, frequency fluctuations, period of occurrence. Введение. Среди предметов изучения науки механики деформируемого твердого тела особое место занимают многоэтажные здания и сооружения. Существует много статей и монографий, посвященных развитию теории сейсмостойкости зданий. Работа [1] посвящена способу статического учета высших форм колебаний в задачах динамики строительных конструкций под действием внешней гармонической нагрузки. В статье [2,3] рассмотрено влияние смещений, переломов осей стеновых панелей в процессе их установки на работу крупнопанельной конструкции. Произведен анализ расчетных схем, 103 учитывающих разные типы погрешности монтажа. В статье [4] рассмотрены основные задачи по определению параметров арматуры железобетонных конструкций при их обследовании. Работы [5,6] посвящены усовершенствованию коробчатой модели конструкции здания с учетом контактных условий между элементами панелей и балок. Статьи [7-9] посвящены разработке метода расчета многоэтажного здания в рамках пластинчатой модели многоэтажного здания. В работе предлагается методика расчета континуальной пластинчатой модели многоэтажных высотных зданий, разработанная в рамках теории пластин С.П. Тимошенко. Используются обозначениями работы [7-9]. Приведенные механические и физические характеристики здания определены в предположении, что здание состоит из многочисленных коробок (комнат) с объемами, определяемыми по формуле: V =d d d , (1) кор 1 2 3 где d , d - размеры коробки здания в плане, d - высота коробки. 1 2 3 Тогда для определения массы коробок имеем формулу m =V = V , (2) зд 0 0 зд кор здесь V - сумма объемов несущих и межкомнатных плит и перекрытий 0 ( ) V = 2 d 1 d 2 h пер + d 1 d 3 h 2 + d 2 d 3 h 1 , (3) 0 2 2 2 где h , h - толщина несущих и межкомнатных стен. h -толщина перекрытия. 1 2 пер Из соотношений (1) - (3) получим формулу для определения приведенной плотности пластинчатой модели здания h h h   =  3 + 2 + 1 . (4) зд бет d d d   3 2 1 Остальные приведенные упругие характеристики и плотности здания определяются по формулам: E(зд) = E , E(зд) = E , E(зд) = E , 1 11 0 2 22 0 3 33 0 (5) G(зд) = G , G(зд) = G ,G(зд) = G ,  = . 12 12 0 13 13 0 23 23 0 зд 0т 0 гдеE , G и  – модули упругости, сдвига и плотности самой прочной несущей панели 0 0 0 здания. Значения коэффициентов  ,  ,  ,  ,  ,  ,  для каждой ячейки 11 22 33 12 13 23 0 (комнаты) здания определяются в виде функций двух пространственных переменных, Приведенный модуль упругости здания определяем по формуле S S S S h h  = 11,  = 22,  = 33 E ,  = 11,  = пер,  = 2 , (6) 11 S 22 S 33 S 0 12 S 13 b 23 b 01 02 03 01 1 V = 1 . (7) 0 V 0 где S , S , S – площади поперечных сечений здания в трех координатных 01 02 03 плоскостях одного этажа здания; S , S , S – суммарные площади поперечных 11 22 33 сечений плит в координатных плоскостях, образующих один этаж здания. Отметим, что вышеприведенные объемы и площади определяются в зависимости от размеров плит, комнат и самого здания в следующем виде: S =bH, S =aH, S =ab, S =2bh +bh +Hh , 01 1 02 03 1 11 1 1 1 2 пер (8) ( ) ( ) S =2ah +ah +2Hh + k−2 Hh , S =2bh +ah + k−2 bh . 22 1 2 1 2 33 1 1 2 1 2 где a, H – длина и ширина здания; b – высота одного этажа здания; k– количество 1 внутренних поперечных стен здания. 104 Значения коэффициентов  ,  ,  ,  ,  ,  определяются для каждой 11 22 33 12 13 23 ячейки (комнаты) здания. Модули упругости континуальной пластинчатой модели здания определяются по формулам (3)- (8). Постановка задачи. Уравнеия движения континуальной модели многоэтажного здания описываем относительно изгибающих, крутящих моментов и перерезывающих сил для ортотропной пластины; они имеют вид: M = D  + , M = D  + , M = M = D  + , 11 11 x 12 x  22 22 x 12 x  12 21 12 x x  1 2 2 1 2 1 Q = k2G H+ , Q = k2G H+ , 13 13  x  23 23  x  1 2 (9) где D , D , D цилиндрическая жесткость ортотропной пластины. 11 22 12 Запишем уравнения движения пластины в виде: M M H3 2 M M H3 2 11 + 12 −Q =  , 21 + 22 −Q =  , x x 13 12 t2 x x 23 12 t2 1 2 1 2 (10) Q Q 2w 13 + 23 =H . x x t2 1 2 3 Где- плотность материала пластины. Пусть, точки основания совершают движение по заданному закону u (t), и 0 нижняя часть здания в горизонтальном направлении перемещается вместе с основанием. Из кинематического соображения следует, что перемещения основания здания запишутся в виде: u (x ,0,z,t)=