Динамический расчет элементов тонкостенных конструкций переменной толщины

Аннотация

В работе построена математическая модель, предложен метод решения и разработан вычислительный алгоритм задачи о колебаниях вязкоупругих элементов тонкостенных конструкций в рамках гипотезы Кирхгофа–Лява в геометрически нелинейной постановке. С помощью метода Бубнова–Галёркина получены не распадающиеся системы интегро-дифференциальных уравнений (ИДУ) относительно функции времени. Для решения ИДУ применен численный метод, основанный на использовании квадратурных формул, устраняющий особенности в ядре релаксации. В качестве ядра релаксации принималось слабо-сингулярное ядро 76 Колтунова–Ржаницына. Разработан единый вычислительный алгоритм и на его основе составлена программа на алгоритмическом языке Delphi. Решена конкретная задача. Key words: вязкоупругость, пластина, панель, оболочка, динамика, расчет, переменная толщина, интегро-дифференциальное уравнение, ядро релаксации. Introduction. В последнее время в мире интенсивно ведутся исследования, связанные с разработкой теории и эффективных методов решения проблем влияния переменности толщины на напряженно-деформированное состояние пластин и оболочек, в частности: разработка методов оценки прочности многослойных тонкостенных конструкций, изготовленных из композитных материалов; разработка методов снижения влияния статических и динамических нагрузок; разработка теоретических основ задач о динамической устойчивости и параметрических колебаний тонких пластин и оболочек с учетом физико-механических свойств материалов; разработка методов оптимального проектирования тонких пластин и оболочек; усовершенствование методов решения задач динамики тонких пластин и оболочек с учетом температуры. Как известно, до недавнего времени в большинстве работ рассматривались элементы тонкостенных конструкций постоянной толщины, а в строительстве, технике и в других отраслях производства часто встречаются и применяются элементы нестандартного типа, т.е. толщины рассматриваемых элементов тонкостенных конструкций изменяются по различному закону (пример, рис.1.). В качестве примера в таблице приведены некоторые элементы тонкостенных конструкций типа кольцевая пластина, цилиндрическая и коническая оболочки, панель двоякой кривизны и квадратная пластина с указанием их профилей [1-3]. В данной статье даются теоретические основы и методы решений задач динамики тонкостенных конструкций типа пластин, панелей и оболочек с учетом вязкоупругих свойств материалов в геометрически нелинейной постановке. а) б) Рис.1. а) автомобильный мост переменной толщины, б) перекрытия с уклоном внизу для улицы. 77 Таблица Тонкостенные конструкции типа кольцевая пластина, цилиндрическая и коническая оболочки, панель двоякой кривизны, и квадратная пластина с указанием их профилей Кольцевая пластина Линейное изменение толщины по радиусу Эллиптический цилиндр Изменение толщины синусоидальной волны вдоль Двоякоизогнутая оболочка вращения с гиперболическим меридианом. Изменение толщины по кубическому закону Панель с двойным изгибом 78 Квадратичное изменение толщины вдоль α 1 Изменение толщины по синусоидальному закону вдоль α 2 Квадратная пластина переменной толщины Осесимметричное изменение толщины пластины вдоль осей Здесь, N - север, E - восток, S - юг, W - запад Materials and Methods. Рассматривается тонкая пологая оболочка прямоугольного плана с размерами ab. Некоторая внутренняя поверхность тела оболочки принимается за срединную поверхность. Оси α и α направляются по линиям 1 2 главных кривизны координатной поверхности оболочки, ζ – по нормали к координатной поверхности в сторону выпуклости (вверх). Оболочка находится под действием заданных внешних нагрузок интенсивностью p , p , q, приложенных к элементу 1 2 оболочки по соответствующим направлениям координатных осей. Толщина оболочки переменна и задается ограничивающими ее в вертикальном направлении поверхностями z (α , α ) и z (α , α ) (рис.2). в 1 2 н 1 2 Рис.2. Типовой элемент оболочки двойной кривизны переменной толщины 79 Переходим к получению математической модели задачи о нелинейном колебании вязкоупругой изотропной оболочки переменной толщины в геометрически нелинейной постановке в рамках гипотезы Кирхгофа-Лява. Связь между деформациями и перемещениями берется в виде [4]: u 1w 2 v 1w 2  = − k w+   ;  = − k w+   ; x x x 2 x  y y y 2 y  (1) u v w w  = + + xy y x x y Физические уравнения связи напряжений с деформациями имеют вид [5,6]: E E ( )( ) ( )( )  = 1−*  + ,  = 1−*  + , x 1−2 x y y 1−2 y y E ( )  = 1−*  (2) xy 2 ( 1+ ) xy где Е – модуль упругости; μ – коэффициент Пуассона;  – интегральный оператор с t ядром релаксации  ( t ) : *=  ( t − )  (  ) d; t – время наблюдения;  – 0 предшествующее моменту наблюдения время;  ,  ,  –компоненты конечной х у ху деформации. ( ) ( ) Соотношения для усилий N ,N ,N и моментов M ,M ,H , отнесенных к x y xy x y единице длины сечения оболочки, имеют вид [4]: z z z H H H N = dz ; N =  dz; N =  dz (3) x x y y xy xy z z z b b b z z z H H H M =  zdz; M