Sfera sirti bo‘yicha kubatur formula qurish

Аннотация

Tiklovchi yadro usulini qo‘llab sfera sirti bo‘yicha kubatur formula qurishni va algebraik aniqlik darajasi uncha kata bo‘lmagan kubatur 249 formulalar qurish va ularning tugunlari sfera ichiga chizilgan muntazam ko‘pyoqlik (simpleks, giperoktaedr) ning uchlari, koeffitsentlari o‘zaro teng bo‘lib chiqdi, ya’ni invariant kubator formula singari bo‘ldi. Kalit so‘zlar: Kubatur formula, muntazzam ko‘pyoq, sfera, ortogonal ko‘phad, tugun nuqta, koeffitsiyent, vektor fazo. Taqribiy integrallash nazariyasida, asosan quyidagi uch: klassik, matematik statistika va funksional analiz yo‘nalishlarida izlanishlar olib boriladi. Uchchala yo‘nalishda ham aniq integralni p ( x ) f ( x ) dx N C f ( x (j)) j  j=1 kubatur formula yordamida amalga oshiriladi, bu yerda , 250 R n dagi soha, p ( x ) - vazn funksiya, x ( j ) va C j kubatur formulaning mos ravishda tugunlari va koeffitsentlari deyiladi. Bajarilgan ish klassik yo‘nalishga tegishli. Bu yo‘nalishda asosiy natijalar I.P.Misovskix, S.L.Sobolev, A.Stroud, V.I. Lebedev, G‘.N.Solihov, X.Myoller va boshqalarga tegishlidir. Invariant kubatur formulalar nazariyasi S.L. Sobolevga tegishli bo‘lib, uni rivojlanishi G‘.N.Solihov va V.I. Lebedev hamda ularning o‘quvchilarining izlanishlarida o‘z aksini topgan. Ortogonal ko‘phadlarning taqribiy integrallash formulalarini qurishga tadbiqi kubatur formulalar nazariyasida yana izlanishlarni kengaytirdi. Bu borada I.P. Misovskix [1-3], X.Shmid, X.Myoller, G.G.Rasputin va boshqa mualliflarning ishlari e’tiborga loyiqdir. Ortogonal ko‘phadlarni kubatur formula qurishga tadbiqiga oid ma’lumotlar va natijalarni I.P.Misovskixning [1] kitobidan topish mumkin. Tiklovchi yadro usulining algoritmiga [1] binoan S sirtida p+1 p + 1 ta turli a ( )i = ( a ( )i 1 , a ( )i2 ,..., a ( )ip + 1 ) nuqtalarni tanlaymizki, ular quyidagi shartlarni qanoatlantirsin a ( )i  V k , a ( )i  S p + 1 , i = 1 , 2 ,..., p + 1 , a(i) i  −1 K(j)( a(i);, ) ,i = 2,3,...,p+1, m j=1 bu yerda V k k −tartibli barcha sferik garmonikalarning umumiy nollari to‘plami; p+2 S :x2 =1; p+1 i i=1 K (k )j ( a ( )j ; , ) = k l= 0 ( h l,p i= 1 )F ( )i l ( a ( )j ) F ( )i l ( , );   h(l, p)− o‘zgaruvchilar soni p+2 ga teng bo‘lgan tartibi l ga teng barcha chiziqli bog‘liqsiz sferik gormonikalar soni. K (k )j ( a ( )j ;  ,  ) , j = 1 , 2 , . . . p + 1 darajasi k dan oshmagan trigonometrik ko‘phad bo‘lib, u darajasi k dan oshmagan sferik garmonikalarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lib, S gipersfera sirtida aniqlangandir. K (j)( a (j) ) ko‘phad bilan bir qatorda p+1 k 251 K (k j )  −a ( j ) ; x - darajasi k ga teng bo‘lgan algebraik ko‘phadni qaraymiz. U holda ( ) ( ( ) )  K k j a j ; , ko‘phadni _K ( k )j  _a ( )j ; x  ko‘phadning S p + 1 sferadagi toraytmasi deb qarash mumkin, bu yerda x = ( x 1 , x 2 , . . . , x p + 2 ), _a ( j ) = ( x (1 j ) , x (2 j ) , . . . , x (p ) j+ 2 ), j = 1 , 2 , . . . , p + 1 . Teorema 1. Agar K (i k )  _a (i ) ; x = 0 i = 1 , 2 , . . . , p + 1 k − tartibli gipersirtlar va p+2 S :x2 =1 gipersfera p+1 j j=1 N = 2 k p + 1 ta turli M (j) , j =1,2,...,2kp+1 chekli nuqtalarda kesishsa, u holda a (i ) , i = 1 , 2 , . . . , p + 1 a ( )i , i = , 2 , . . . , p + 1 va M ( )j , j = 1 , 2 ,. .. ,2 k p + 1 nuqtalarni algebraik aniqligi 2 k ga teng bo‘lgan S + 1 f ( x ) d s  p + 1 i= 1 1b i f ( a ( )i ) + p + 2 k j= 1 1 A fj ( M ( )j ) kubatur formulaning tugun nuqtalari deb olish mumkin, bu yerda b i = K k ( a ( )i ; a ( )i )  0 , i = 1 , 2 , . . . , p + 1 . Tiklovchi yadro usulini darajasi juft (toq) garmonikalarning vektor fazosida qaraydigan bo‘lsak, uning modifikatsiyasi [1] k = 2 m − juft k =2m+1 toq bo‘lsa, algebraik aniqlik darajasi 4 m + 1 , ( 4 m + 3 ) ga teng bo‘lgan kubatur formulaga olib keladi. ( ) 2m +1 Teorema 2. Agar darajasi 2m ga teng _K ( ) i 2 m  _a (i ) ; x K (i 2 m ) + 1  _a (i ) , x , i = 1 , 2 , . . . , p + 1 ko‘phadlar va S p + 1 : p + j= 2 1 x 2j = 1 gipersfera N = 2 ( 2 m ) p + 1 ( N = 2 ( 2 m + 1 ) p + 1 ) ta turli haqiqiy M (j) S , j =1,N nuqtalarda kesishsa, u holda p+1 a (i ) , − a (i ) va M ( )j , i = 1 , p + 1 , j = 1 , N nuqtalarni algebraik aniqlik darajasi 4m+1 ( 4 m + 3 ) bo‘lgan  f(x)dx   p+1 1  f ( a(i)) + f ( −a(i)) + N A f ( M(j)) 2b j S i=1 i j=1 p+1 kubatur fomulaning tugun nuqtalari deb olish mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati: 1. Мысовских И.П. Интерполяционные кубатурные формулы. М. Наука. 1981 г. 2. Мысовских И.П. Кубатурные формулы и ортогональные многочлены. Ж В М и М Ф, 1969 г, 9, №2. 3. Мысовских И.П. Применение ортогональных многочленов к построению кубатурных формул - Ж В М и М Ф, 1972 г, 12, №2. 4. Shmid X. Interpolatory cubature formulal and real ideals. - In: Quant. Apporximate. N.Y.: Acad. Press, 1980 g. 5. Ismatullayev G.P., Mirzakabilov R.N. Construction of Cubature Formulas with Minimal Number of Nodes // AIP Conference Proceedings. – 2021. – 2356. – pp. 00032. KORTEVEG-DE FRIZ TENGLAMASINING SIMMETRIYALAR GRUPPASI f-m.f.f.d. Sharipov Xurshid Fazlid