ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ПРЯМОГО СМЕШИВАНИЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛОВЫХ ВОЛН В ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ОБЛАСТИ

Аннотация

Метод прямых модифицирован для решения линейного двухмерного уравнения параболического типа с разрывными граничными условиями в декартовых координатах. Приближенно-аналитический метод применим для задания начального и граничных условий в виде произвольных функций. Демонстрированы особенности процесса распространения тепловых волн в прямоугольной области, где большую температуру имеют одна или две стороны расчетной области. Показаны способы применения метода для решения двухмерных уравнений эллиптического и гиперболического типов. Ключевые слова: теплопередача, задача Дирихле, метод прямых, собственные числа и векторы, тепловая волна, замена переменных, формулы перехода. Annotatsiya. Dekart koordinatalarida uzluksiz chegara shartlariga ega chiziqli ikki o'lchovli parabolik tenglamani yechish uchun to‘g‘ri chiziqlar usuli o'rganiladi. Taxminiy analitik usul ixtiyoriy funksiyalar ko'rinishidagi boshlang'ich va chegaraviy shartlarni o'rnatish uchun qo'llaniladi. To‘g’ri to'rtburchak sohada termal to'lqinlarning tarqalish jarayonining xususiyatlari ko'rsatilgan, bu erda hisoblash maydonining bir yoki ikki tomoni yuqori haroratga ega. Elliptik va giperbolik tipdagi ikki o'lchovli tenglamalarni yechishda ushbuusulini qo'llash usullari ko'rsatilgan. Kalit so‘zlar: Issiqlik uzatish, Dirixle masalasi, to‘g’ri chiziqlar usuli, xos sonlar va vektorlar, Issiqlik to‘lqinlari, o‘zgaruvchilarni almashinishi, o'tish formulalari. Annotation. The method of lines is modified to solve a linear two-dimensional parabolic equation with discontinuous boundary conditions in Cartesian coordinates. The approximate analytical method is applicable for setting initial and boundary conditions in the form of arbitrary functions. The features of the process of propagation of thermal waves in a rectangular area are demonstrated, where one or two sides of the calculation region have a higher temperature. The methods of applying the method for solving two- dimensional equations of elliptic and hyperbolic types are shown. Keywords: heat transfer, Dirichlet problem, method of lines, eigenvalues and eigenvectors, heat wave, change of variables, transition formulas. 1. Введение Развитие численных методов решения многомерных задач обусловлено тем, что с одной стороны решаемые задачи выражены адекватными линейными и нелинейными 456 ResearchBib IF - 11.01, ISSN: 3030-3753, Volume 2 Issue 11 уравнениями и их краевыми условиями, а с другой стороны год за годом увеличиваются ресурсы вычислительной техники и технологий до привлечения кластеров и графических процессоров. Для решения задач теплопередачи разработаны различные точные и приближенные методы [1-4]. В работе [5] приведены многочисленные аналитические решения задач теплопередачи в стационарной постановке в декартовых, цилиндрических и сферических координатах. За последние годы интенсивно развиваются численные методы – метод конечных разностей, метод конечных элементов, метод Бубнова-Галеркина, метод Рвачева и другие применительно к параболическим или гиперболическим уравнениям теплопередачи [3]. Особый класс задач образуется при реализации метода конечных разностей, которые имеют единую трехдиагональную матрицу при переходе к конечно-разностным уравнениям для произвольного временного шага: 457 A   2 1 0 0 0 1  2 1 ... 0 0 0 1  2 0 0 0 0 1 0 0 ... ... ... ... ... ... 0 0 0 1 0 0 0 0 ...  2 1 0 0 0 1  2 N . (1) Такая матрица образуется при решении задач Дирихле относительно уравнений эллиптического, параболического и гиперболического типов, когда оператор лапласиана в уравнении имеет постоянный коэффициент при использовании метода прямых. Система конечно-разностных уравнений с такой основной матрицей решается многократным повторением в зависимости от реального (при решении параболических и гиперболических уравнений) или фиктивного (при решении эллиптического уравнения) времени. Метод прямых формировался и развивался как способ перехода из многомерных уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, для решения которых были разработаны различные методы. В частности, в работе [6] демонстрированы примеры использования метода прямых для треугольной области, области в виде сегмента и других. В области решения задачи проводятся равноудаленные прямые и вместно уравнения в частных производных образуется система обыкновенных дифференциальных уравнений, количество которых равно количеству проведенных прямых. Различные двух-и трехмерные задачи в декартовых, цилиндрических и и сферических ортогональных координатах в работе [7] рассмотрены и решены методом прямых. Демонстрированы особенности решения многомерных задач методом прямых. Сначала решается задача относительно первой координаты, для которой составляется матричное уравнение, определяются вспомогательные фундаментальная и диагональная матрица, осуществляется переход к линейной комбинации искомых функций, формируются соответствующие краевые условия и получается решение по данной координаты. В следующем шаге процедур