Многогранники следы и геометрические вариационные задачи

Аннотация

Актуальность темы. Задачи, при изучении которых естественно возникают деформации с изменением топологической структуры рассматриваемых объектов1, давно и хорошо известны в разных областях науки. Деформации, изменяющие структуру объекта, давно изучаются в теории экстремальных сетей (одномерная проблема Плато). Около двадцати лет назад в теории сетей появилось понятие расщепления вершин при деформации, а также (как естественное средство моделирования их) понятие сети следа как класса специальных параметризаций сети. Понятие многогранника—следа, рассматриваемое в диссертации, представляет собой естественное обобщение сети—следа на старшие размерности. Цель работы. Построить класс обобщенных многомерных поверхностей, наглядно позволяющий моделировать сложные деформации с изменением топологии, и исследовать свойства полученных объектов в приложении к задаче о локально минимальных поверхностях. Основные методы исследования. В работе используются методы кусочно—аффинной геометрии, выпуклой геометрии, дифференциальной геометрии, вариационного исчисления, теории графов, теории экстремальных сетей.