Объемы неевклидовых многогранников, обладающих нетривиальной симметрией

Аннотация

Актуальность темы. Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. В основном это связано с тем, что объем фундаментального многогранника является одним из основных инвариантов трехмерного многообразия. В отличие от евклидова пространства в гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Гаусс, один из создателей гиперболической геометрии, использовал слово „die Dschungel” (джунгли, дебри) в отношении вычисления объемов в неевклидовой геометрии. Цель работы. Нахождение объемов сферических многогранников с симметриями. Исследование проблемы Зейделя об объемах неевклидовых тетраэдров. Получение явных интегральных формул для инвариантов Черна—Саймонса конических многообразий, сингулярным множеством которых является зацепление Уайтхеда. Методы исследований. В качестве подхода для решения поставленной задачи использованы классические методы, развитые в работах Лобачевского, Шлефли и Кокстера, а также современный подход, основанный на геометрической теории трехмерных многообразий.