Структурные теоремы в теории самоподобных фракталов

Аннотация

Актуальность проблемы. Бурное развитие в последние десятилетия фрактальной геометрии и фрактального анализа, выявившее роль этих разделов математики как одного из главных факторов ее роста на рубеже 20 и 21 веков, продиктовано логикой развития математики и имеет целый ряд причин, которые уместно перечислить. С одной стороны, идея внутреннего подобия объектов прослеживается в истории научной и философской мысли человечества с древнейших времен. С другой - эго развитие было вызвано новыми требованиями к математическому инструментарию, возникшими в разных сферах приложения математики. Наконец, важнейшим фактором развития фрактальной геометрии и анализа является то, что их возникновение и рост проистекали из естественных закономерностей развития математического анализа и его непосредственных нужд. Цель работы. Получение топологических аналогов самоподобных структур, как инвариантных множеств полугрупп действующих на компактах или полных метрических пространствах. Получение структурных теорем и теорем жесткости для самоподобных жордановых континуумов. Нахождение хаусдорфовой размерности и хаусдорфовой меры множества крайних точек самоподобного множества. Доказательство теорем конечности для выпуклых оболочек самоподобных множеств.