Коммутирующие дифференциальные операторы и их приложения в дифференциальной геометрии

Аннотация

Цель работы. Диссертация посвящена изучению коммутативных колец обыкновенных дифференциальных операторов ранга 2, их разностных аналогов, коммутативных колец дифференциальных операторов нескольких переменных с матричными коэффициентами, связанных с многомерными алгебраическими многообразиями, а также некоторым приложениям теории интегрируемых систем в дифференциальной геометрии и математической физике. Одной из основных трудностей при построении коммутирующих дифференциальных операторов нескольких переменных является следующая. В отличие от одномерного случая, наличие бесконечномерного семейства совместных собственных функций, например, запараметризованное точками алгебраического многообразия, не гарантирует их коммутацию. Преодолеть эту трудность можно с помощью построения так называемых модулей Бейкера-Ахиезера со специальными свойствами. Основные результаты диссертации. Предложен метод построения частных решений уравнений Кричевера-Новикова на параметры Тюрина. С помощью этого метода найдены примеры самосопряженных обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2, а также примеры обыкновенных коммутирующих дифференциальных операторов ранга 2 с полиномиальными коэффициентами, отвечающих спектральным кривым рода два.