Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем

Аннотация

Актуальность темы. Представленная работа является исследованием в области топологии интегрируемых систем. Топологические свойства интегрируемой гамильтоновой системы тесно связаны со структурой особенностей соответствующего ей отображения момента. Прообразы регулярных значений этого отображения являются инвариантными многообразиями системы, диффеоморфными фактору R'1 по некоторой решетке. Например, если фазовое пространство системы компактно, то, как следует из классической теоремы Лиувилля, такие инвариантные многообразия диффеоморфны п-мерным торам (называемым торами Лиувилля), на которых траектории системы являются условно периодическими. Локальная классификация невырожденных особенностей для интегрируемых гамильтоновых систем хорошо известна (теорема Элиассона1). А именно, тип особенности полностью определяется количеством ее гиперболических, эллиптических и фокусных компонент. Однако для описания топологии конкретной интегрируемой системы необходимо исследовать структуру особенности не в малой окрестности особой точки, а в окрестности всего особого слоя, содержащего эту точку. Иногда такое исследование особенности называют полулокальным.