Пространства непрерывных отображений в множественно-открытых топологиях

Аннотация

Актуальность темы. Множество С'(Х) всех непрерывных вещественнозначных функций на тихоновском пространстве X обладает различными топологиями. Идея прозрачного описания предельного перехода во множестве функций достигается средствами общей топологии — путем определения той или иной естественной топологии на множестве непрерывных функций С'(Х), отражающей свойства связываемых функциями пространств. На множестве С(Х) топологии можно вводить различными неэквивалентными способами, и каждая из возникающих топологий имеет свои преимущества в определенных ситуациях. Исторически изучение пространств непрерывных отображений из одного топологического пространства в другое активно ведется с конца XIX века. Первые топологии на пространствах функций вводились с целью изучения различных видов сходимости функциональных последовательностей; это были топология поточечной сходимости и топология равномерной сходимости на всем пространстве. Первыми работами, посвященными этой тематике были статьи Асколи, Арцела и Адамара. В 1906 году па пространстве отображений из топологического пространства X в произвольное метрическое пространство Y Фреше4 впервые рассмотрел supremum metric, и соответствующую ей топологию.