Три-ткани Бола с тензором кривизны минимального ранга

Аннотация

Актуальность темы. В теории многомерных три-тканей большую роль играют условия замыкания различных конфигураций, которые позволяют провести классификацию тканей. В конце 20-х годов XX века В. Бляшке, Г. Томсен, К. Рейдемейстер, Г. Бол показали, что условиям замыкания на криволинейной три-ткани W конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, соответствуют некоторые тождества, выполняемые в координатных лупах этой ткани. В работах 1 и 2, появилось условие шестиугольности (H). Затем в работе 3 были рассмотрены условия замыкания других конфигураций, названных впоследствии конфигурациями Томсена и Рейдемейстера, и было показано, что условия их замыкания связаны с групповыми свойствами три-ткани. Наконец, в работе 4 были введены еще три типа конфигураций и соответственно три типа условий замыкания — условия Бола. Дифференциальные уравнения три-ткани И7(г, г, г) общего вида, образованной тремя слоения коразмерности r на гладком многообразии размерности 2r, и некоторых специальных классов таких три-тканей были впервые найдены в середине тридцатых годов XX века в работе С. Черна. М.А. Акивис в 6 нашел вид структурных уравнений три-ткани W(г, г, г) в современной инвариантной форме, что позволило записать результаты Черна в более лаконичном виде и эффективно исследовать некоторые специальные классы тканей (трансверсально геодезические, изоклинные и др.