Топология особенностей интегрируемых гамильтоновых систем с некомпактными поверхностями уровня

Аннотация

Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена исследованию топологических особенностей интегрируемого случая В. В. Соколова (далее - случай Соколова) на алгебрах Ли е(3) и so(3,1). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы. Указанные случаи отличаются от большинства известных систем тем, что совместные поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла являются некомпактными, а в случае so(3,1), кроме того, поток гамильтониана является неполным. Однако теория топологической классификации некомпактых систем до сих пор не разработана, например, нет конечного списка атомов данной сложности (даже само понятие сложности в некомпактном случае пока что не определено). Мы надеемся, что результаты настоящей диссертации смогут быть полезны при построении такой теории. При анализе некомпактных систем приходится сталкиваться с проблемой полноты полей. Полнота является существенным условием в Теореме Лиувилля, в компактном случае она получается автоматически. В отсутствии полноты (а в случае Соколова на so(3,1) так и происходит) связные компоненты совместной поверхности уровня гамильтониана и дополнительного интеграла не обязательно являются торами, цилиндрами или плоскостями.