Геометрия и топология спектральных задач

Аннотация

Актуальность темы. Спектральная задача L^ = A^, (1) связывающая оператор L. его собственные числа А и собственные векторы (или функции) ip, естественным образом возникает в самых разнообразных задачах современной математики. Геометрии и топологии нескольких актуальных типов спектральных задач, связанных с дифференциальными уравнениями, и посвящена данная работа. Первой из рассматриваемых задач является задача об изучении на поверхностях метрик, экстремальных для собственных значений оператора Лапласа-Бельтрами А. В данной задаче рассматриваются зависящие от метрики д собственные числа Aj(<7) в спектральной задаче (1) для оператора L = А и изучаются метрики, экстремальные для функционала д А;(д'). Данная задача восходит к основополагающим работам Херша и Яу семидесятых-восьмидесятых годов прошлого века и является обобщением на случай римановой геометрии задачи о геометрической оптимизации собственных чисел в задаче Дирихле для областей в евклидовых пространствах, впервые изучавшийся еще Рэлеем.