Геометрические задачи упаковок сфер и смежные проблемы

Аннотация

Актуальность темы. В диссертации рассмотрены две классические геометрические задачи. Одна из них, проблема контактных чисел, имеет более чем трехсотлетнею историю, а вторая, оценка мощности множеств с двумя расстояниями, известна с конца 1940-х годов. Контактным числом K(n) называют наибольшее число не пересекающихся шаров одинакового радиуса в Rn, которые можно расположить так, чтобы все они касались одного (центрального) шара такого же радиуса. Очевидно, чтоK(2) = 6. В трехмерном пространстве, в задаче о контактных числах спрашивается: “Как много белых бильярдных шаров могут одновременно касаться черного бильярдного шара. Наиболее симметричная конфигурация, 12 бильярдных шаров вокруг одного, это когда центры 12 шаров расположены в вершинах правильного икосаэдра, а центральный шар расположен в центре икосаэдра. Однако, эти 12 внешних шаров не касаются друг друга и могут свободно перемещаться по поверхности центрального шара. Таким образом, возможно, что эти 12 шаров можно сдвинуть в одну сторону, так что найдется место для 13-го шара.