Геометрия гамильтоновых систем для многообразий и потенциалов Бертрана

Аннотация

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению дифференциально-геометрических, механических и топологических свойств некомпактных гамильтоновых систем с угловой координатой на примере задачи Бертрана Задача Бертрана наряду с задачей Кеплера и задачей трёх тел является одной из наиболее известных обратных задач небесной механики и посвящена отысканию законов притяжения по геометрическим свойствам орбит. В диссертации подробно изучена система Бертрана, т.е. система с потенциалом, приводящим к замкнутым орбитам, на поверхности вращения в своих различных модификациях, связанных с различными требованиями к искомому потенциалу, а также к поверхности вращения. Поверхность вращения рассматривается как абстрактное многообразие (не обязательно вложенное в R3) вида S « (а,Ь) х S1 с координатами («, <р mod 27г) и некоторой метрикой вращения, а также многообразие S' ~ (а, 6) х S’1 с псевдоримановой метрикой вращения. Для таких систем описаны все метрики, допускающие наличие потенциалов с замкнутыми орбитами, геометрические и механические свойства орбит, связь формы орбит с метрикой поверхности, в т.ч. показано, что орбиты колеблются периодически между двумя параллелями поверхности, посчитаны угловой и временной периоды таких колебаний.